为什么x-ln(1+x)的等价无穷小是1/2x^2

我们可以使用泰勒公式将x-ln(1+x)展开成幂级数：

x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...

我们知道，当x接近0时，高阶次幂的项会变得非常小，可以被忽略。因此，我们可以采用只考虑前两项的方式近似表示。

x-ln(1+x) ≈ x - (x^2)/2

将其写成等式形式：

x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + o(x^2)

其中，o(x^2)表示比x^2更高阶次的幂级数。因此，我们可以得到：

x-ln(1+x) = 1/2x^2 + o(x^2)

因为当x趋近于0时，o(x^2)远比1/2x^2小，可以被认为是等价于0的无穷小，因此：

x-ln(1+x) ~ 1/2x^2

改写成等式形式就是：

lim(x→0) (x-ln(1+x))/x^2 = 1/2

这就证明了1/2x^2是x-ln(1+x)的等价无穷小。

相关问题

当x趋近于0时, (3sinx+2x^2cos(1/x))是：A.与(1+cosx)ln(1+x)同价非等价的无穷小B.与(1+cosx)ln(1+x)低价的无穷小 C.与(1+cosx)ln(1+x)高阶无穷小 D.与(1+cosx)ln(1+x)等价无穷小

当 x 趋近于 0 时, (3 sin x / 2x^2 cos (1/x)) 是与 (1 - cos x) ln (1 - x) 的同阶无穷小。这意味着当 x 趋近于 0 时，它们的值都会变得非常小，但它们的值并不能用来互相比较。

x+ln(x+1)等价无穷小是多少

当$x\rightarrow 0$时，有：

$x\ln(x+1) = \frac{\ln(x+1)}{\frac{1}{x}}$

由洛必达法则可得：

$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(x+1)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\rightarrow 0} -\frac{x^2}{x+1} = 0
$$

因此，$x\ln(x+1)$是$x$趋于$0$时的等价无穷小是$0$。