为什么x-ln(1+x)的等价无穷小是1/2x^2
时间: 2023-05-26 12:07:26 浏览: 1537
我们可以使用泰勒公式将x-ln(1+x)展开成幂级数:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...
我们知道,当x接近0时,高阶次幂的项会变得非常小,可以被忽略。因此,我们可以采用只考虑前两项的方式近似表示。
x-ln(1+x) ≈ x - (x^2)/2
将其写成等式形式:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + o(x^2)
其中,o(x^2)表示比x^2更高阶次的幂级数。因此,我们可以得到:
x-ln(1+x) = 1/2x^2 + o(x^2)
因为当x趋近于0时,o(x^2)远比1/2x^2小,可以被认为是等价于0的无穷小,因此:
x-ln(1+x) ~ 1/2x^2
改写成等式形式就是:
lim(x→0) (x-ln(1+x))/x^2 = 1/2
这就证明了1/2x^2是x-ln(1+x)的等价无穷小。
相关问题
x+ln(x+1)等价无穷小是多少
当$x\rightarrow 0$时,有:
$x\ln(x+1) = \frac{\ln(x+1)}{\frac{1}{x}}$
由洛必达法则可得:
$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(x+1)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\rightarrow 0} -\frac{x^2}{x+1} = 0
$$
因此,$x\ln(x+1)$是$x$趋于$0$时的等价无穷小是$0$。
x-sinx的等价无穷小为什么是1/6*x^3]
根据泰勒公式,当x趋近于0时,可以将函数x-sin(x)展开为其在x=0处的泰勒多项式:
x-sin(x) = x - (x - x^3/3! + x^5/5! - ...) = x^3/3! - x^5/5! + ...
因为x^3比x^5小,当x趋近于0时,只考虑其一阶项,即
x-sin(x) ≈ x^3/3!
因此,x-sin(x)的等价无穷小为1/6*x^3。