利用组合推理的方式证明Qn=Dn+Dn-1
时间: 2024-06-05 10:09:29 浏览: 20
我们可以使用数学归纳法来证明这个式子。
当 n=1 时,Q1=D1+D0=D1+1=2,结论成立。
假设当 n=k 时,Qk=Dk+Dk-1 成立。
当 n=k+1 时,我们有:
Qk+1=Dk+1+Dk
根据递推式 Dn=Dn-1+Dn-2,我们有:
Qk+1=Dk+1+Dk=Dk+Dk-1+Dk+1=Dk-1+Dk+Dk+Dk+1
再根据递推式 Dn=Dn-1+Dn-2,我们有:
Qk+1=Dk-1+Dk+Dk+Dk+1=Dk-1+Dk-2+2Dk+Dk+1
Qk+1=Dk-1+Dk-2+Dk+Dk+Dk+1
Qk+1=Qk+Dk+Dk-1
由归纳法假设,当 n=k 时,Qk=Dk+Dk-1 成立,因此:
Qk+1=Qk+Dk+Dk-1=(Dk+Dk-1)+Dk+(Dk-1+Dk-2)=(Dk+1)+(Dk-1+Dk)+(Dk-2+Dk-1)
Qk+1=Dk+1+Dk
因此,我们证明了当 n=k+1 时,Qn=Dn+Dn-1 成立。
因此,根据数学归纳法,对于所有的正整数 n,Qn=Dn+Dn-1 成立。
相关问题
双jk触发器74ls112逻辑功能的测试中,j=0,k=1Qn=1,cp由低变高,Qn+1为什么
双JK触发器的逻辑功能是:在时钟信号CP的上升沿触发时,根据J和K的输入状态,控制输出Q和Q'的状态。具体地:
- 当J=0,K=0时,保持原状态不变;
- 当J=0,K=1时,输出Q=0,Q'=1;
- 当J=1,K=0时,输出Q=1,Q'=0;
- 当J=1,K=1时,输出Q和Q'状态相反。
在这个测试中,J=0,K=1,Qn=1,CP由低变高。因为K=1,所以无论Qn原来是什么状态,输出Q都会被强制置为0,即Q=0。根据双JK触发器的性质,此时Q'=1,即Q'的状态与Q相反。因此,Qn=1时,输出为Q=0,Q'=1。
由D触发器连接成JK触发器。 连接好后,对照表9-2的逻辑功能,测试JK触发器的逻辑功能。 按表9-8的要求改变J、K、CP端状态,观察Q、 状态变化,观察触发器状态更新是否发生在CP脉冲的上升沿(即CP由0→1),记录之。 表9-8 J K CP Qn+1 Qn=0 Qn=1 0 0 0→1 1→0 0 1 0→1 1→0 1 0 0→1 1→0 1 1 0→1 1→0
好的,我明白你的问题了。对于由D触发器连接成JK触发器的情况,我们可以通过改变J、K、CP端的状态来测试其逻辑功能。按照表9-8的要求,改变J、K、CP端的状态,观察Q、Q的状态变化,并记录触发器状态更新是否发生在CP脉冲的上升沿(即CP由0→1)。下面是表9-8的内容:
| J | K | CP | Qn+1 | Qn=0 | Qn=1 |
|:-:|:-:|:--:|:----:|:----:|:----:|
| 0 | 0 | 0→1| Qn | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0→1| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0→1| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0→1| Q̅n | 1 | 0 |
其中,Qn表示当前触发器的输出状态,Qn+1表示更新后的状态,Q̅n表示Qn的反相输出。根据表格,我们可以进行以下测试:
1. 当J=0,K=0,CP由0变为1时,Qn+1等于Qn,即触发器保持原状态。触发器状态更新发生在CP脉冲的上升沿。
2. 当J=0,K=1,CP由0变为1时,Qn+1等于0,即触发器被清零。触发器状态更新发生在CP脉冲的上升沿。
3. 当J=1,K=0,CP由0变为1时,Qn+1等于1,即触发器被置为1。触发器状态更新发生在CP脉冲的上升沿。
4. 当J=1,K=1,CP由0变为1时,Qn+1等于Q̅n,即触发器被取反。触发器状态更新发生在CP脉冲的上升沿。
通过以上测试,我们可以验证由D触发器连接成JK触发器后的逻辑功能是否正确。
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