用双线性变换法设计高通滤波器
时间: 2023-12-18 13:03:41 浏览: 67
首先,我们需要将高通滤波器的理想响应 $H_{hp}(u,v)$ 转换为实际可实现的数字滤波器。双线性变换法是一种常用的将连续时间滤波器转换为数字滤波器的方法。
对于一个二维滤波器 $H(u,v)$,其理想响应可以表示为:
$$
H_{hp}(u,v) = \begin{cases}
1, & D(u,v) \geq D_0 \\
0, & D(u,v) < D_0
\end{cases}
$$
其中 $D(u,v)$ 为频率域中的距离函数,$D_0$ 为截止频率,即高通滤波器的截止频率。我们需要将其转换为数字滤波器的形式。
双线性变换法的基本思想是将连续时间域上的滤波器 $H_c(s)$ 映射为数字滤波器 $H(z)$。这个映射是通过将 $s$ 替换为一个关于 $z$ 的函数 $z^{-1}$ 实现的。
具体地,我们可以通过以下步骤设计高通滤波器:
1. 将理想的高通滤波器 $H_{hp}(u,v)$ 进行对数变换,得到 $H_{lp}(u,v) = \log(H_{hp}(u,v))$。
2. 根据双线性变换的公式,将 $s$ 替换为 $z^{-1}$,得到映射函数:
$$
s = \frac{2}{T}(1 - z^{-1}) \quad \Rightarrow \quad z^{-1} = \frac{2 - Ts}{T + 2s}
$$
其中,$T$ 为采样周期。将 $s$ 替换为 $z^{-1}$ 后,我们可以将 $H_{lp}(u,v)$ 转换为数字滤波器的形式:
$$
H(z) = H_{lp}\left(\frac{2 - Ts}{T + 2s}\right)
$$
3. 将 $H(z)$ 展开为有理分式形式,得到:
$$
H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum\limits_{m=0}^M b_m z^{-m}}{\sum\limits_{n=0}^N a_n z^{-n}}
$$
其中,$M$ 和 $N$ 分别为分子和分母的阶数。我们可以通过调整系数 $b_m$ 和 $a_n$ 来实现不同的滤波器响应。
4. 将 $H(z)$ 中的 $z^{-1}$ 替换为 $e^{-j \omega}$,得到频率响应:
$$
H(e^{j \omega}) = \frac{Y(e^{j \omega})}{X(e^{j \omega})} = \frac{\sum\limits_{m=0}^M b_m e^{-j \omega m}}{\sum\limits_{n=0}^N a_n e^{-j \omega n}}
$$
5. 根据所需的截止频率 $f_0$,选择合适的滤波器阶数 $M$ 和 $N$,并通过调整系数 $b_m$ 和 $a_n$ 来实现理想的高通滤波器响应。
以上就是使用双线性变换法设计高通滤波器的基本步骤。需要注意的是,在实际应用中,我们还需要考虑滤波器的幅频特性、相频特性、群延迟等因素,以及如何选择合适的采样周期 $T$。