证明：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

我们可以通过以下步骤证明此结论：

1. 假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一个基可行解，使得所有基变量都严格非零，并且这个基可行解是最优的。

2. 根据线性规划的对偶性，我们可以得到对偶规划，其定义与原始规划相同，但目标函数和约束条件互换。因此，对偶规划的目标是最小化一组变量的线性组合，这些变量对应原始规划中的每个约束条件。

3. 根据对偶性定理，我们知道原始规划的最优解等于对偶规划的最优解。因此，我们需要证明对偶规划存在唯一最优解。

4. 假设对偶规划存在两个不同的最优解。根据对偶性定理，这两个最优解对应原始规划中的两个不同的基可行解。但是，由于原始规划存在非退化的最优基可行解，因此这两个基可行解都必须是非退化的。

5. 根据最优性定理，一个线性规划问题的最优解必须对应于一个非退化的基可行解。因此，在这种情况下，存在两个不同的非退化的最优基可行解，这与我们的假设矛盾。

6. 因此，我们可以得出结论：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

相关问题

证明：如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一 最优解

要证明这个结论，需要使用线性规划的对偶理论。

首先，根据线性规划的对偶理论，原始问题的最优解等于对偶问题的最优解。

其次，如果原始问题存在非退化的最优基可行解，那么这个最优解对应的基本变量都是非零的。因此，对偶问题的约束条件中，与这些基本变量对应的对偶变量都是非零的。这意味着对偶问题存在一个基本可行解，其中所有基本变量都是非零的。

因此，根据对偶理论，对偶问题存在最优解，并且这个最优解是唯一的。因此，如果原始问题存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

证明如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

### 回答1：
在标准形式的线性规划中，最优解是在某个基可行解上取到的。如果这个基可行解是非退化的，那么这个基可行解的基本变量都唯一确定了，也就是说，它们的取值都是唯一的。因此，基可行解是唯一的。

我们考虑对偶规划。对偶规划的最优解是在某个对偶可行解上取到的。如果对偶可行解是非退化的，那么这个对偶可行解的对偶基本变量也都唯一确定了，它们的取值也都是唯一的。因此，对偶可行解是唯一的。

现在我们来考虑对偶规划的最优解。根据弱对偶定理，对于任意一个可行解$x$和对偶可行解$y$，都有$c^Tx\leq b^Ty$。因此，对于任意一个对偶可行解$y$，都有$c^Tx\leq b^Ty$，其中$x$是满足$Ax=b$且$x\geq 0$的向量。这意味着，$y$可以被看作是原始问题的一个下界。

我们考虑如果存在两个对偶可行解$y_1$和$y_2$，使得它们都是最优解。那么，我们可以考虑它们的平均值$y=(y_1+y_2)/2$。根据前面的推理，$y_1$和$y_2$都是原始问题的下界，因此$y$也是原始问题的下界。但是，$y$也是对偶可行解，因此它也是对偶问题的一个可行解。现在我们来看看$c^Tx$和$b^Ty$的值：

$$
\begin{aligned}
c^Tx &\leq b^Ty_1 \\
c^Tx &\leq b^Ty_2 \\
\end{aligned}
$$

将这两个不等式相加，得到：

$$
2c^Tx \leq b^Ty_1 + b^Ty_2
$$

因此，

$$
c^Tx \leq \frac{1}{2}(b^Ty_1 + b^Ty_2) = b^Ty
$$

这意味着，$y$也是原始问题的一个下界。因此，$y$是原始问题的最优解之一。但是，$y$也是对偶可行解，因此它也是对偶问题的一个最优解之一。

因此，我们证明了：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

### 回答2：
证明如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

首先，我们假设线性规划的标准形式为:

最大化：$c^Tx$
约束条件：$Ax=b$
$x \geq 0$

其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数的系数向量，$A$为约束条件的系数矩阵，$b$为约束条件的常数向量。

对应的对偶规划的标准形式为:

最小化：$b^Ty$
约束条件：$A^Ty \geq c$
$y \geq 0$

现假设线性规划存在一非退化的最优基可行解，即基变量的系数矩阵存在非零子阵。在最优基可行解下，目标函数的值等于基变量的系数乘以其取值向量的结果，同时约束条件也满足。假设线性规划的最优解为$x^*$，则基变量的系数$B$满足$Ax^* = B^{-1}b$，其中$B$为基变量的系数矩阵。

根据对偶理论，对偶规划的最优解$y^*$满足约束条件$A^Ty^* \geq c$，且目标函数的值等于约束条件系数向量$A^Ty^*$与$c$的内积。假设对偶规划存在两个最优解$y_1^*$和$y_2^*$，则有$A^Ty_1^* \geq c$和$A^Ty_2^* \geq c$。由于线性规划存在非退化的最优基可行解，基变量的系数矩阵$B$存在非零子阵，那么对于任意的非负向量$z$，我们有$Bz \geq 0$成立。因此，结合线性规划的约束条件和对偶规划的约束条件，我们有$A(Bz) \geq c$。那么，根据基变量的定义，我们可以将$Bz$分解为基变量的组合。因此，我们可以得到$Az \geq 0$，即对偶规划的约束条件$A^Ty^* \geq c$成立。

综上所述，如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。这是因为线性规划的最优基可行解保证对偶规划的约束条件成立，同时基变量的系数矩阵$B$存在非零子阵，使得对偶规划的最优解唯一。

### 回答3：
证明如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

首先，对于标准形式的线性规划，其可行解对应于一个多面体（polyhedron）中的点集，其中每个点代表一种解。一个非退化可行解对应于多面体的一个顶点，即这个解在多面体中是唯一的。

假设存在两个不同的最优解对应于对偶规划的两个最优解，即存在两个不同的最优解向量x和y。由于x和y是最优解，根据对偶原则，有c^Tx ≤ b^Ty，其中c和b分别是原始规划和对偶规划的系数向量。如果c^Tx = b^Ty，则根据一个定理，原始规划和对偶规划都有最优解。

现在考虑c^Tx < b^Ty的情况，由于x和y是最优解，必然存在某个常数α，使得c^Tx + α < b^Ty。取任意一个大于α的非负数ε，由于x是最优解，存在一个满足约束的y'使得c^Tx + ε < b^Ty'。对于足够小的正数δ，可以得到c^Tx + (ε-δ) < b^Ty'+δ。但根据非退化的最优基可行解的性质，对于足够小的正数δ，存在一个满足约束的y''使得c^Tx + (ε-δ) = b^Ty''。因此，不等式c^Tx + (ε-δ) < b^Ty'+δ不能成立，这与c^Tx + (ε-δ) < b^Ty'+δ是矛盾的。因此，非退化的最优基可行解对应的对偶规划解唯一。

综上所述，如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，则其对偶规划必有唯一最优解。