应用动态规划算法的最优子结构性质和子问题重叠性质求解此问题。分析动态规划算法的基本思想,应用动态规划策略写出算法及相应的程序,求解此题。要读懂读透A[i,j],A[1,n]=A[1,k] ×A[k+1,n],m[i][j],s[i][j]各式所表达的含义并正确加以应用。m[i][j]的递归定义:
时间: 2023-09-17 11:14:23 浏览: 42
动态规划算法的基本思想是将原问题分解为若干个子问题,并且将子问题的解保存下来,避免重复计算,从而得到原问题的解。
对于此问题,我们可以定义一个二维数组A,其中A[i][j]表示将第i个矩阵到第j个矩阵连乘所需的最小计算次数。同时,我们还可以定义一个二维数组m,其中m[i][j]表示将第i个矩阵到第j个矩阵连乘时的最小计算次数对应的k值,即A[i][j] = A[i][k] + A[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j],其中p为矩阵的维度数组。
根据最优子结构性质,我们可以得出以下递归式:
A[i][j] = 0 (i = j)
A[i][j] = min{A[i][k] + A[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]} (i ≤ k < j)
根据子问题重叠性质,我们可以使用动态规划算法来求解该问题。具体地,我们可以使用一个循环来依次计算A[i][i+1]、A[i][i+2]、…、A[i][j],并保存每个子问题的最优解。最终,A[1][n]即为所求的最小计算次数。
下面是该算法的Python实现:
```python
def matrix_chain_order(p):
n = len(p) - 1
A = [[0] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
m = [[0] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
for l in range(2, n + 1):
for i in range(1, n - l + 2):
j = i + l - 1
A[i][j] = float('inf')
for k in range(i, j):
q = A[i][k] + A[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]
if q < A[i][j]:
A[i][j] = q
m[i][j] = k
return A[1][n], m
```
其中,p为矩阵的维度数组,返回值为最小计算次数和m数组。
在程序中,我们使用两个嵌套的循环来依次计算A[i][i+1]、A[i][i+2]、…、A[i][j]。在每次计算时,我们使用一个内层循环来枚举k,并计算A[i][j]的值。最终,A[1][n]即为所求的最小计算次数,m数组保存了每个子问题的最优解对应的k值。