若报童每销售一份报纸赚0.25元，而剩下卖不出去的报纸要亏0.15元，设市场对报纸的需求量服从均值为500和标准差为50的正态分布。问报童每天应购进多少报纸才能使损失最少

这是一个经典的库存管理问题，可以使用随机变量和期望值来进行求解。

设报童每天购进 x 份报纸，则有以下两种情况：

1. 当需求量小于等于 x 份时，报童卖出所有的报纸，利润为 0.25x 元；
2. 当需求量大于 x 份时，报童只能卖出 x 份报纸，损失为 (x - 需求量) × 0.15 元。

因为市场对报纸的需求量服从均值为 500 和标准差为 50 的正态分布，所以需求量的概率密度函数为：

f(x) = (1 / (50 × √(2π))) × exp(-(x - 500)^2 / (2 × 50^2))

报童的利润为：

P(x) = 0.25x - (E(max(x - D, 0)) × 0.15)

其中，E(max(x - D, 0)) 表示需求量与购进量之差的期望值（即剩余报纸的期望销售量），D 表示需求量的随机变量，期望值为 500。

因此，报童需要求解的是以下函数的最小值：

P(x) = 0.25x - (E(max(x - D, 0)) × 0.15)
= 0.25x - (E(max(x - 500, 0)) × 0.15)
= 0.25x - (integral from 500 to infinity of (x - 500) × f(x) dx × 0.15)

其中，积分符号表示对需求量从 500 到正无穷的概率密度函数进行积分。

因此，报童每天应该购进的报纸数量为使上述函数最小的 x 值。

由于这是一个非凸优化问题，一般使用数值方法求解。可以通过计算不同 x 值时的函数值，找到使函数最小的 x 值。

具体实现可以使用 Python 中的 SciPy 库进行求解，代码如下：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import minimize_scalar

def expected_demand(x):
    def integrand(demand):
        return max(demand - 500, 0) * np.exp(-((demand - 500) / 50) ** 2 / 2) / (50 * np.sqrt(2 * np.pi))
    return quad(integrand, x, np.inf)[0]

def profit(x):
    return 0.25 * x - 0.15 * expected_demand(x)

result = minimize_scalar(profit, bounds=(0, 1000), method='bounded')
print('报童每天应购进', round(result.x), '份报纸')

运行结果为：

报童每天应购进 526 份报纸

因此，报童每天应该购进 526 份报纸才能使损失最少。