用Matlab求解1+1维Camassa-Holm方程并建模

1+1维Camassa-Holm方程可以写成如下形式：

$$
\begin{cases}
u_t - u_{xxt} + 3uu_x - 2u_xu_{xx} - uu_{xxx}=0 \\
u(x,0) = f(x) \\
u(\pm \infty, t) = 0
\end{cases}
$$

其中，$u=u(x,t)$是关于空间变量$x$和时间变量$t$的未知函数，$f(x)$是初始条件函数。

为了求解该方程，我们需要对其进行离散化。假设有$n$个离散化点$x_i$，步长为$\Delta x$，时间步长为$\Delta t$，则可以将方程离散化为：

$$
\begin{cases}
\dfrac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} - \dfrac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} + 3u_i^n\dfrac{u_{i+1}^n - u_{i-1}^n}{2\Delta x} \\
- \dfrac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{2\Delta x}\dfrac{u_{i+1}^n - u_{i-1}^n}{2\Delta x} - \dfrac{u_i^n}{2\Delta x^2}(u_{i+2}^n - 2u_{i+1}^n + 2u_{i-1}^n - u_{i-2}^n) = 0 \\
u_i^0 = f(x_i) \\
u_1^n = u_{n}^n = 0
\end{cases}
$$

其中，$u_i^n$表示在位置$x_i$和时间$t_n$处的数值解。

接下来，我们使用Matlab进行求解。首先，我们需要设置离散化的参数：

n = 201; % 离散化点数
x = linspace(-50,50,n); % 离散化空间区域
dx = x(2) - x(1); % 空间步长
dt = 0.01; % 时间步长
t = 0:dt:1; % 时间区域
u = zeros(n,length(t)); % 初始化数值解矩阵

然后，我们需要设置初始条件$f(x)$：

u(:,1) = sech(x).^2; % 初始条件

最后，我们根据离散化后的方程进行迭代求解：

for i=1:length(t)-1
    u(1,i+1) = 0; % 左边界条件
    u(n,i+1) = 0; % 右边界条件
    for j=2:n-1
        uxx = (u(j+1,i)-2*u(j,i)+u(j-1,i))/(dx^2); % 二阶空间导数
        uxxx = (u(j+2,i)-2*u(j+1,i)+2*u(j-1,i)-u(j-2,i))/(2*dx^3); % 三阶空间导数
        u(j,i+1) = u(j,i) - dt*(uxx + 3*u(j,i)*(u(j+1,i)-u(j-1,i))/(2*dx) - ...
            (u(j+1,i)-u(j-1,i))^2/(4*dx^2) - u(j,i)*uxxx/2); % 数值解迭代
    end
end

最终，我们可以将数值解可视化：

[X,Y] = meshgrid(t,x);
surf(X,Y,u');

这样，我们就得到了1+1维Camassa-Holm方程的数值解，并建立了相应的模型。