有人对汽车进行了一次实验，具体过程是，在行驶过程中先加速，然后再保持匀速行 驶一段时间，接着再加速，然后再保持匀速，如此交替。注意，整个实验过程中从未减速。在一组 时间点上测得汽车的速度如表所示。 t 0 20 40 56 68 80 84 96 104 110 v 0 20 20 38 80 80 100 100 125 125 （1）分别使用最近点插值、线性插值、三次埃尔米特插值和三次样条插值进行计算[0,110]时 间段 50 个时间点的速度。 （2）绘制插值图形并标注样本点。Matlab

以下是 MATLAB 代码和插值图形。其中，最近点插值和线性插值使用 MATLAB 内置函数 interp1，三次埃尔米特插值和三次样条插值使用自己编写的函数。

% 样本数据
t = [0, 20, 40, 56, 68, 80, 84, 96, 104, 110];
v = [0, 20, 20, 38, 80, 80, 100, 100, 125, 125];

% 最近点插值
tq = linspace(0, 110, 50);
vq_nn = interp1(t, v, tq, 'nearest');

% 线性插值
vq_lin = interp1(t, v, tq, 'linear');

% 三次埃尔米特插值
vq_hermite = hermite_interp(t, v, tq);

% 三次样条插值
vq_spline = spline_interp(t, v, tq);

% 绘制插值图形
plot(t, v, 'o', tq, vq_nn, '-', tq, vq_lin, '--', tq, vq_hermite, ':', tq, vq_spline, '-.');
legend('样本点', '最近点插值', '线性插值', '三次埃尔米特插值', '三次样条插值');
xlabel('时间 t');
ylabel('速度 v');
title('汽车速度插值图');

% 三次埃尔米特插值函数
function vq = hermite_interp(t, v, tq)
    n = length(t);
    m = 2 * n - 2;
    A = zeros(m, m);
    b = zeros(m, 1);
    for i = 1:n-1
        j = 2 * i - 1;
        A(j, j) = 1;
        A(j, j+1) = t(i+1) - t(i);
        b(j) = v(i);
        A(j+1, j) = 1;
        A(j+1, j+1) = t(i+1) - t(i);
        b(j+1) = v(i+1);
        if i > 1
            A(j, j-2) = (t(i) - t(i-1)) ^ 2;
            A(j, j-1) = t(i) - t(i-1);
            A(j+1, j-2) = -2 * (t(i) - t(i-1)) ^ 2;
            A(j+1, j-1) = -(t(i) - t(i-1));
        end
        if i < n-1
            A(j, j+2) = (t(i+2) - t(i+1)) ^ 2;
            A(j, j+3) = -(t(i+2) - t(i+1));
            A(j+1, j+2) = -2 * (t(i+2) - t(i+1)) ^ 2;
            A(j+1, j+3) = t(i+2) - t(i+1);
        end
    end
    c = A \ b;
    vq = zeros(size(tq));
    for i = 1:length(tq)
        j = find(t <= tq(i), 1, 'last');
        if j == n
            j = n - 1;
        end
        h = t(j+1) - t(j);
        vq(i) = c(2*j-1) + c(2*j) * (tq(i) - t(j)) + (c(2*j-1) - c(2*j)) * (tq(i) - t(j))^2 / h;
    end
end

% 三次样条插值函数
function vq = spline_interp(t, v, tq)
    n = length(t);
    h = diff(t);
    b = diff(v) ./ h;
    A = spdiags([h(2:n-1), 2*(h(1:n-2)+h(2:n-1)), h(2:n-1)], [-1, 0, 1], n-2, n-2);
    r = 6 * diff(b);
    c = [0; A \ r; 0];
    a = v(1:n-1);
    d = diff(c) ./ (6 * h);
    b = b - c(1:n-2) .* h(1:n-2) + c(2:n-1) .* h(2:n-1);
    vq = zeros(size(tq));
    for i = 1:length(tq)
        j = find(t <= tq(i), 1, 'last');
        if j == n
            j = n - 1;
        end
        x = tq(i) - t(j);
        vq(i) = a(j) + b(j) * x + c(j) * x^2 / 2 + d(j) * x^3 / 6;
    end
end

插值图形如下所示：