假设Y是一个在区间[a,b]均匀分布的随机变量,且a、b的值未知。现观察到Y的m个采样 𝑦(1),𝑦(2),…,𝑦(𝑚) 。请用最大似然原则来估计 a 和 b 的值。

根据题意，Y的概率密度函数为：

$$p(y) = \begin{cases}\frac{1}{b-a}, &a \leq y \leq b \\0, &\text{otherwise}\end{cases}$$

设a和b的估计值分别为$\hat{a}$和$\hat{b}$，则似然函数为：

$$L(a,b) = \prod_{i=1}^m p(y^{(i)};\hat{a},\hat{b}) = \prod_{i=1}^m \frac{1}{\hat{b}-\hat{a}} \cdot \mathbb{I}(y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}])$$

其中$\mathbb{I}$为指示函数，表示当$y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}]$时取值为1，否则为0。因为$\hat{a}$和$\hat{b}$未知，需要用样本数据来估计它们的值。可以将$L(a,b)$看作是$\hat{a}$和$\hat{b}$的函数，对其求偏导数并令其等于0，得到：

$$\frac{\partial L}{\partial \hat{a}} = -\frac{m}{\hat{b}-\hat{a}} + \sum_{i=1}^m \frac{\partial}{\partial \hat{a}} \mathbb{I}(y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}]) = 0$$

$$\frac{\partial L}{\partial \hat{b}} = \frac{m}{\hat{b}-\hat{a}} + \sum_{i=1}^m \frac{\partial}{\partial \hat{b}} \mathbb{I}(y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}]) = 0$$

对于第一个式子，当$y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}]$时有$\frac{\partial}{\partial \hat{a}} \mathbb{I}(y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}]) = -1$，否则为0；对于第二个式子，当$y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}]$时有$\frac{\partial}{\partial \hat{b}} \mathbb{I}(y^{(i)} \in [\hat{a},\hat{b}]) = 1$，否则为0。因此，上述两个式子可以转化为：

$$\frac{m}{\hat{b}-\hat{a}} = 1 - \sum_{i=1}^m \mathbb{I}(y^{(i)} \leq \hat{a}) + \sum_{i=1}^m \mathbb{I}(y^{(i)} \geq \hat{b}) = 1 - \text{rank}_{y^{(1)},\dots,y^{(m)}}(\hat{a}) + \text{rank}_{y^{(1)},\dots,y^{(m)}}(\hat{b})$$

其中$\text{rank}$表示排名函数，即返回数值在给定数组中的排名。上式中的第二个等号是因为对于任意一个$i$，当$y^{(i)} \leq \hat{a}$时，$y^{(i)}$的排名为1，而当$y^{(i)} \geq \hat{b}$时，$y^{(i)}$的排名为$m$。因此，可以解出$\hat{a}$和$\hat{b}$的值：

$$\hat{a} = y^{(\text{rank}_{y^{(1)},\dots,y^{(m)}}(1))}$$

$$\hat{b} = y^{(\text{rank}_{y^{(1)},\dots,y^{(m)}}(m))}$$

这样，就可以用最大似然原则来估计a和b的值。