用matlab实现傅里叶级数

傅里叶级数是将一个周期为 $T$ 的连续周期函数 $f(x)$ 表示成一系列正弦和余弦函数的和，其公式为：

$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos\frac{2\pi nx}{T} + b_n \sin\frac{2\pi nx}{T}\right)
$$

其中，$a_0$、$a_n$ 和 $b_n$ 分别是傅里叶系数，其公式为：

$$
a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d}x
$$

$$
a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x
$$

$$
b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x
$$

现在，我们可以用 MATLAB 实现傅里叶级数，具体步骤如下：

Step 1：定义周期函数 $f(x)$。

假设我们要求 $f(x) = x$ 的傅里叶级数，则代码如下：

function y = f(x)
    y = x;
end

Step 2：定义傅里叶系数 $a_0$、$a_n$ 和 $b_n$。

我们依照上述公式定义：

function [a0, an, bn] = fourier_coeff(f, T, n)
    syms x;
    a0 = 1/T * int(f(x), x, 0, T);
    for i = 1:n
        an(i) = 2/T * int(f(x)*cos(2*pi*i*x/T), x, 0, T);
        bn(i) = 2/T * int(f(x)*sin(2*pi*i*x/T), x, 0, T);
    end
end

Step 3：计算傅里叶级数。

我们设定求前 $10$ 项的傅里叶级数，则代码如下：

clear;
clc;
T = 2*pi; % 周期
n = 10; % 前 n 项
x = linspace(0, T, 1000); % x 轴坐标点
[a0, an, bn] = fourier_coeff(@f, T, n);

y = a0/2;
for i = 1:n
    y = y + an(i)*cos(2*pi*i*x/T) + bn(i)*sin(2*pi*i*x/T);
end

plot(x, f(x), 'k', x, y, 'r');
legend('Original', 'Fourier series');

最后的结果是一个图像，显示了原始函数 $f(x)$ 和傅里叶级数的近似结果。