标准周期方波信号如，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，并验证其收敛性。

标准周期方波信号可以表示为：

$$f(x)=\begin{cases}
1, & 0\leq x<\frac{T}{2}\\
-1, & \frac{T}{2}\leq x<T
\end{cases}$$

其中 $T$ 为周期。该信号的基波频率为 $f_0=\frac{1}{T}$，可以将其傅里叶级数表示为：

$$f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\sin\left(\frac{2\pi(2n-1)}{T}x\right)$$

利用MATLAB编程实现前 $N$ 项傅里叶级数的叠加：

T = 1; % 周期
f0 = 1 / T; % 基波频率
N = 50; % 傅里叶级数项数

x = linspace(0, T, 1000); % 生成 1000 个等间距的 x 坐标点
f = zeros(size(x)); % 初始化 f(x) 的值为 0

for n = 1 : 2 : 2 * N - 1
    f = f + (4 / pi) * (1 / n) * sin(2 * pi * n * f0 * x); % 计算 f(x) 的值
end

% 绘制原始信号和傅里叶级数叠加后的信号
subplot(2, 1, 1);
plot(x, 0.5 + 0.5 * square(2 * pi * f0 * x)); % 绘制原始信号
title('原始信号');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
ylim([-0.5, 1.5]);

subplot(2, 1, 2);
plot(x, f); % 绘制傅里叶级数叠加后的信号
title(sprintf('前 %d 项傅里叶级数叠加后的信号', N));
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
ylim([-1.5, 1.5]);

运行上述代码，将得到以下图像：

<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210729195805855.png" alt="傅里叶级数叠加后的信号" style="zoom:80%;" />

从图中可以看出，前 $N$ 项傅里叶级数叠加后的信号逐渐逼近原始信号，验证了傅里叶级数的收敛性。