c++实现椭圆曲线密码算法

椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography，简称ECC）是一种公钥密码体制。下面是一个简单的椭圆曲线密码算法C++实现的示例。

1. 定义椭圆曲线参数

我们需要定义一个有限域上的椭圆曲线，椭圆曲线的方程为 y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是有限域上的常数。我们还需要指定一个基点G和一个大素数n。

const int a = 0, b = 7;
const int p = 0xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffefffffc2f; // 有限域
const int n = 0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141; // 素数
const int Gx = 0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798; // 基点x坐标
const int Gy = 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8; // 基点y坐标

2. 定义点类和加法运算

我们需要定义一个点类，以及点的加法运算。点加法可以用扩展欧几里得算法实现。

class Point {
public:
    Point(int x, int y) : x(x), y(y) {}
    int x, y;
};

Point operator+(const Point& p1, const Point& p2) {
    int lambda, x, y;
    if (p1.x == p2.x && p1.y == p2.y) {
        lambda = (3 * p1.x * p1.x + a) * inverse_mod(2 * p1.y, p);
    } else {
        lambda = (p2.y - p1.y) * inverse_mod(p2.x - p1.x, p);
    }
    x = (lambda * lambda - p1.x - p2.x) % p;
    y = (lambda * (p1.x - x) - p1.y) % p;
    return Point(x, y);
}

其中，inverse_mod是求逆元的函数，可以用扩展欧几里得算法实现。

int inverse_mod(int a, int m) {
    int x, y;
    exgcd(a, m, x, y);
    return (x % m + m) % m;
}

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}

3. 定义标量乘法运算

我们还需要定义一个标量乘法运算，即将一个点乘以一个整数k。

Point scalar_mul(const Point& p, int k) {
    Point res(0, 0), q = p;
    while (k) {
        if (k & 1) res = res + q;
        k >>= 1;
        q = q + q;
    }
    return res;
}

4. 密钥生成和加密解密

密钥生成过程就是选择一个随机数d，并计算公钥Q = dG。加密过程就是选择一个随机数k，并计算密文C1 = kG，C2 = kQ + M，其中M是明文。解密过程就是计算M = C2 - dC1。

int main() {
    // 密钥生成
    int d = rand() % n;
    Point Q = scalar_mul(Point(Gx, Gy), d);

    // 加密
    int k = rand() % n;
    Point C1 = scalar_mul(Point(Gx, Gy), k);
    string M = "hello";
    int C2 = k * Q.x + hash(M);

    // 解密
    int M2 = C2 - d * C1.x;

    return 0;
}

其中，hash函数可以用SHA-256等哈希算法实现。