求曲线x=t,y=t^2,z=t^3在点(1,1,1)处的切线与法平面方程,并附上解题过程
时间: 2024-05-26 09:09:59 浏览: 62
很高兴回答您的问题。根据数学知识,我们可以求出曲线 x=t, y=t^2, z=t^3 的导数为 x'=1, y'=2t, z'=3t^2。因此,在点(1,1,1)处的切向量为(1,2,3),切线方程为
x-1=1(y-1)=2(z-1)
化简可得:
x-1=y-1.5=z-1.5
或者
x=y=z
同时,法向量为(1,2,3),法平面方程为
x-1+2(y-1)+3(z-1)=0
以上就是解题过程,希望能对您有所帮助。
相关问题
求函数u=x^2+y^2+z^2在x=t,y=2t^2,z=2t^3+1上点(1,2,3)处沿曲线在该点的切线正方向(对应t增大的方向)的方向导数.
这是一个数学问题,可以回答。首先,求出该点的梯度向量:
grad u = <2xy^2z^2, 2x^2yz^2, 2x^2y^2z>
将点(1,2,3)代入得:
grad u(1,2,3) = <36, 24, 12>
接下来,求曲线在该点的切向量:
r'(t) = <1, 4t, 6t^2>
将t=1代入得:
r'(1) = <1, 4, 6>
最后,求方向导数:
D_u(r'(1)) = grad u(1,2,3) · r'(1) / ||r'(1)||
= (36)(1) + (24)(4) + (12)(6) / sqrt(1^2 + 4^2 + 6^2)
= 180 / sqrt(53)
所以,函数u=x^2 y^2 z^2在曲线x=t,y=2t^2,z=2t^3上点(1,2,3)处沿切线正方向的方向导数为180 / sqrt(53)。
已知三维中的两个曲面,(x2 + y2 - 1)(y2 + z2 - 1)(x2 + z2 - 1) - 1=0和(x3)/3-(y2)/2-z=0,定义曲线C是他们的交集,现在要求曲线C上任意一点的切线,如何求
要求曲线C上任意一点的切线,可以使用隐函数求导法。
首先,将两个曲面的方程联立,得到它们的交点,即曲线C的参数方程:
x = sqrt(1-y^2) * sqrt(1-z^2)
y = sqrt(1-x^2) * sqrt(1-z^2)
z = 3x^2/(2y^2+3x^2)
然后,对参数方程进行求导,得到切向量:
dx/dt = -y*z/sqrt(1-y^2)/sqrt(1-z^2)
dy/dt = -x*z/sqrt(1-x^2)/sqrt(1-z^2)
dz/dt = 12x*y/(2y^2+3x^2)^2
将切向量化为单位向量:
T = (-y*z/sqrt(1-y^2)/sqrt(1-z^2), -x*z/sqrt(1-x^2)/sqrt(1-z^2), 12x*y/(2y^2+3x^2)^2) / sqrt((y*z)^2/(1-y^2)/(1-z^2) + (x*z)^2/(1-x^2)/(1-z^2) + (12x*y)^2/(2y^2+3x^2)^4)
最后,根据点斜式方程,切线的方程为:
(x-x0)/T1 = (y-y0)/T2 = (z-z0)/T3
其中,(x0,y0,z0)为曲线C上的任意一点。
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