将椭圆曲线表示为向量的形式： r(t)=(3+4 cos⁡t，4+4 sin⁡t，(8 cos⁡t-4 sin⁡t+6)/3) 得到该曲线的切向量和法向量 r'(t)=(-4 sin⁡t，4 cos⁡t，(8 cos⁡t-4 sin⁡t)/3) (2.12) r''(t) =(-4 cos⁡t，-4 sin⁡t，(8 cos⁡t+4 sin⁡t)/3)，分析该椭圆的几何特性

将椭圆曲线表示为向量形式为：

r(t) = (3+4cos(t), 4+4sin(t), (8cos(t)-4sin(t)+6)/3)

其切向量为：

r'(t) = (-4sin(t), 4cos(t), (8cos(t)-4sin(t))/3)

其法向量为：

r''(t) = (-4cos(t), -4sin(t), (8cos(t)+4sin(t))/3)

通过观察切向量和法向量，可以发现：

1. 切向量 r'(t) 的第一、二个分量分别对应 x、y 轴上的单位切向量，即椭圆曲线在 x、y 轴方向上的切线方向。

2. 切向量 r'(t) 的第三个分量对应 z 轴上的切向量，即椭圆曲线在 z 轴方向上的切线方向。

3. 法向量 r''(t) 的前两个分量分别对应椭圆曲线在 xy 平面上的法向量，与椭圆曲线的方向垂直。

4. 法向量 r''(t) 的第三个分量对应椭圆曲线在 z 轴方向上的法向量，与椭圆曲线在该方向上的几何特性有关。

因此，该椭圆曲线的几何特性如下：

1. 在 x、y 轴方向上，椭圆曲线的切线方向随参数 t 的变化而变化，而在 z 轴方向上，椭圆曲线的切线方向始终与 z 轴正方向相同。

2. 在 xy 平面上，椭圆曲线的法向量始终垂直于曲线，方向随参数 t 的变化而变化。

3. 在 z 轴方向上，椭圆曲线的法向量始终指向 z 轴负方向，且在 z = 0 和 z = 4/3 处，法向量的大小相同。因此，该椭圆曲线在 z = 0 和 z = 4/3 处存在拐点。

相关问题

怎样判断三维曲线{█(x=3+4 cos⁡t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t )-(4+4 sin⁡t )+4)/3)┤ 在空间中的形状，并分析其几何特征

该三维曲线的形状是一个椭圆。

该曲线是由参数方程 x=3+4cos(t)，y=4+4sin(t)，z=(2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3 给出的。我们可以将其表示为向量形式：

r(t) = ⟨3+4cos(t), 4+4sin(t), (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3⟩

我们可以计算出该曲线的切向量和法向量：

r'(t) = ⟨-4sin(t), 4cos(t), (8sin(t)-4cos(t))/3⟩
r''(t) = ⟨-4cos(t), -4sin(t), (8cos(t)+4sin(t))/3⟩

对于任意 t，r'(t) 和 r''(t) 都不为零。因此，该曲线没有任何奇点或自交点。

通过观察 z 的表达式，我们可以发现 z 的取值范围为 [4/3, 20/3]。这意味着该曲线的中心在 (3, 4, 8/3) 处，z 方向的长度为 16/3。

因此，该曲线是一个在空间中的轴对称椭圆，中心为 (3, 4, 8/3)，z 方向的长度为 16/3。

分析代码：x = [30 6 12 56 45]'; y = [8 11 65 28 39]'; R = 35; theta = 0:pi/100:2*pi; for ii = 1:length(x) x1 = x(ii)+R*cos(theta); y1 = y(ii)+R*sin(theta); plot(x1,y1); hold on end hold off axis equal text(25,35,'*')

这段代码实现了将五个点(x,y)为圆心，半径为35的圆画出来，并在圆心处打上一个星号的功能。具体解释如下：

首先给定了五个点的坐标，将其存储在x和y向量中。然后给定了圆的半径R和绕圆周旋转的角度theta数组。接下来使用for循环对每个点进行处理，对于第ii个点，计算出其所在圆的圆周上所有点的坐标并存储在x1和y1向量中。然后使用plot函数将这些点画出来，并使用hold on保持画图状态，使得绘制的圆不会被后面的圆覆盖。最后使用text函数在(25,35)处添加一个星号。最后使用hold off取消保持画图状态，并使用axis equal保证x轴和y轴的比例相同，实现画出一个圆而不是椭圆。