参数方程为 {█(x=3+4 cos﷩t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤ (2.10) 通过对参数方程进行分析来判断交线的形状，可发现该柱面与平面的交线形状是椭圆，以下为分析。 我们可以将（2.10）表示为向量的形式： r(t)=(3+4 cos⁡t，4+4 sin⁡t，(8 cos⁡t-4 sin⁡t+6)/3) (2.11) 得到该曲线的切向量和法向量 r'(t)=(-4 sin⁡t，4 cos⁡t，(8 cos⁡t-4 sin⁡t)/3) (2.12) r''(t) =(-4 cos⁡t，-4 sin⁡t，(8 cos⁡t+4 sin⁡t)/3)，由此分析曲线中心和z取值

根据切向量和法向量的定义，可以得到曲线在某点的切线方向和法向量方向。对于参数方程（2.11）和（2.12），可以计算出：
- 当 t=0 时，r'(t)=(0, 4, 8/3)，r''(t)=(-4, 0, 8/3)；
- 当 t=π/2 时，r'(t)=(-4, 0, 4/3)，r''(t)=(0, -4, 4/3)。

由于切向量和法向量垂直，可以得到切线方向和法向量方向分别为：
- 当 t=0 时，切线方向为(0, 1, 0)，法向量方向为(4/3, 0, -4)；
- 当 t=π/2 时，切线方向为(-1, 0, 0)，法向量方向为(0, 4/3, -4)。

根据分析可知，该曲线的中心位于点(3, 4, 2)，法向量方向为(4/3, 0, -4)和(0, 4/3, -4)的平面与该曲线的交线形状是椭圆。

相关问题

参数方程{█(x=3+4 cos﷩t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤中z的取值是多少

根据参数方程可得：
z = (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3
化简得：
z = (8cos(t) - 4sin(t) + 10)/3
由于cos(t)和sin(t)的值在[-1, 1]之间取值，所以z的取值范围为：
(8(-1) - 4(1) + 10)/3 ≤ z ≤ (8(1) - 4(-1) + 10)/3
即：
0 ≤ z ≤ 10/3

由参数方程{█(x=3+4 cos﷩t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤求该椭圆曲线的半轴

这个参数方程描述的是一个椭圆曲线。根据椭圆的定义，它有两个轴，分别是长轴和短轴。

首先，我们可以将参数方程转换为标准形式的方程。将 $x$ 和 $y$ 带入第三个方程，可以得到 $z$ 的表达式：

$$z = \frac{2(3+4\cos t) - (4+4\sin t) + 4}{3} = \frac{8\cos t - 4\sin t + 10}{3}$$

现在我们有了标准形式的方程：

$$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{16} + \frac{(z-10/3)^2}{64/9} = 1$$

这个方程告诉我们，长轴和短轴的长度分别是 $2\sqrt{\frac{64}{9}}=8/3$ 和 $2\sqrt{\frac{16}{9}}=8/3$。

因此，该椭圆曲线的长轴和短轴的长度都是 $8/3$。