参数方程为 {█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤ (2.10) 通过对参数方程进行分析来判断交线的形状,可发现该柱面与平面的交线形状是椭圆,以下为分析。 我们可以将(2.10)表示为向量的形式: r(t)=(3+4 cost,4+4 sint,(8 cost-4 sint+6)/3) (2.11) 得到该曲线的切向量和法向量 r'(t)=(-4 sint,4 cost,(8 cost-4 sint)/3) (2.12) r''(t) =(-4 cost,-4 sint,(8 cost+4 sint)/3),由此分析曲线中心和z取值
时间: 2024-02-26 12:52:02 浏览: 17
根据切向量和法向量的定义,可以得到曲线在某点的切线方向和法向量方向。对于参数方程(2.11)和(2.12),可以计算出:
- 当 t=0 时,r'(t)=(0, 4, 8/3),r''(t)=(-4, 0, 8/3);
- 当 t=π/2 时,r'(t)=(-4, 0, 4/3),r''(t)=(0, -4, 4/3)。
由于切向量和法向量垂直,可以得到切线方向和法向量方向分别为:
- 当 t=0 时,切线方向为(0, 1, 0),法向量方向为(4/3, 0, -4);
- 当 t=π/2 时,切线方向为(-1, 0, 0),法向量方向为(0, 4/3, -4)。
根据分析可知,该曲线的中心位于点(3, 4, 2),法向量方向为(4/3, 0, -4)和(0, 4/3, -4)的平面与该曲线的交线形状是椭圆。
相关问题
将{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤化为椭圆曲线的标准式
首先,我们需要将参数方程转换为笛卡尔坐标系中的方程。
我们可以将参数t表示为x=3+4cos(t)和y=4+4sin(t)的函数。将z代入原方程,得到:
z = (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3
z = (6+8cos(t)-4-4sin(t)+4)/3
z = (2+8cos(t)-4sin(t))/3
现在,我们可以将x、y、z表示为变量a、b、c的函数。
x = 3 + 4cos(t) = a
y = 4 + 4sin(t) = b
z = (2+8cos(t)-4sin(t))/3 = c
接下来,我们将a、b、c代入椭圆曲线的标准式中:
((a-3)/4)^2 + ((b-4)/4)^2 + ((3c-2)/8)^2 = 1
因此,将{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤化为椭圆曲线的标准式为:
((x-3)/4)^2 + ((y-4)/4)^2 + ((3z-2)/8)^2 = 1
求椭圆{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤的中心
这个椭圆的参数方程为:
x = 3 + 4cos(t)
y = 4 + 4sin(t)
z = (2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3
将 x 和 y 分别减去它们的平均值,即可得到椭圆的中心坐标:
x0 = (1/2π)∫[0,2π] (3 + 4cos(t))dt = 3
y0 = (1/2π)∫[0,2π] (4 + 4sin(t))dt = 4
因此,椭圆的中心坐标为 (3, 4)。