将{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤化为椭圆曲线的标准式
时间: 2024-05-16 21:19:52 浏览: 19
首先,我们需要将参数方程转换为笛卡尔坐标系中的方程。
我们可以将参数t表示为x=3+4cos(t)和y=4+4sin(t)的函数。将z代入原方程,得到:
z = (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3
z = (6+8cos(t)-4-4sin(t)+4)/3
z = (2+8cos(t)-4sin(t))/3
现在,我们可以将x、y、z表示为变量a、b、c的函数。
x = 3 + 4cos(t) = a
y = 4 + 4sin(t) = b
z = (2+8cos(t)-4sin(t))/3 = c
接下来,我们将a、b、c代入椭圆曲线的标准式中:
((a-3)/4)^2 + ((b-4)/4)^2 + ((3c-2)/8)^2 = 1
因此,将{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤化为椭圆曲线的标准式为:
((x-3)/4)^2 + ((y-4)/4)^2 + ((3z-2)/8)^2 = 1
相关问题
求椭圆{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤的中心
这个椭圆的参数方程为:
x = 3 + 4cos(t)
y = 4 + 4sin(t)
z = (2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3
将 x 和 y 分别减去它们的平均值,即可得到椭圆的中心坐标:
x0 = (1/2π)∫[0,2π] (3 + 4cos(t))dt = 3
y0 = (1/2π)∫[0,2π] (4 + 4sin(t))dt = 4
因此,椭圆的中心坐标为 (3, 4)。
求椭圆曲线{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤的长半轴和短半轴
对于椭圆曲线的参数方程:
x = 3 + 4cos(t)
y = 4 + 4sin(t)
z = (2(3 + 4cos(t)) - (4 + 4sin(t)) + 4)/3
我们可以将其转化为齐次坐标形式:
X = 3Z + 4Xcos(t)
Y = 4Z + 4Ysin(t)
Z = 2(3 + 4Xcos(t) - Ysin(t))/3
然后,我们可以将X和Y的系数除以Z,得到:
x = 4cos(t) + 3/z
y = 4sin(t) + 4/z
再将x和y代入标准形式的椭圆曲线方程y^2 = x^3 + ax + b中,得到:
(4sin(t) + 4/z)^2 = (4cos(t) + 3/z)^3 + a(4cos(t) + 3/z) + b
化简得:
16/z^2 = (27 + 12a(4cos(t) + 3/z))/(4cos(t) + 3/z)^2
令u = 4cos(t) + 3/z,则上式变为:
u^3 + au + b = 27/16
对u求导并令导数等于0,得到:
3u^2 + a = 0
解得:
u = ± sqrt(-a/3)
将u代入椭圆曲线方程,得到:
16/z^2 = (27 - 16a sqrt(-a/3) + 12a sqrt(-a/3)^2)/(3sqrt(-a/3))^2
化简得:
16/z^2 = (27 + 4a sqrt(-a/3))/(3a/4)
令v = -4a/27,则上式变为:
z^2 = 4/(27v + 1)
因此,椭圆曲线的长半轴和短半轴分别为:
a = -27v/4
b = 1/4
长半轴为2sqrt(3)/sqrt(-v),短半轴为sqrt(3)/sqrt(-v)。
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