求椭圆曲线{█(x=3+4 cos﷩t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤的长半轴和短半轴

对于椭圆曲线的参数方程：

x = 3 + 4cos(t)
y = 4 + 4sin(t)
z = (2(3 + 4cos(t)) - (4 + 4sin(t)) + 4)/3

我们可以将其转化为齐次坐标形式：

X = 3Z + 4Xcos(t)
Y = 4Z + 4Ysin(t)
Z = 2(3 + 4Xcos(t) - Ysin(t))/3

然后，我们可以将X和Y的系数除以Z，得到：

x = 4cos(t) + 3/z
y = 4sin(t) + 4/z

再将x和y代入标准形式的椭圆曲线方程y^2 = x^3 + ax + b中，得到：

(4sin(t) + 4/z)^2 = (4cos(t) + 3/z)^3 + a(4cos(t) + 3/z) + b

化简得：

16/z^2 = (27 + 12a(4cos(t) + 3/z))/(4cos(t) + 3/z)^2

令u = 4cos(t) + 3/z，则上式变为：

u^3 + au + b = 27/16

对u求导并令导数等于0，得到：

3u^2 + a = 0

解得：

u = ± sqrt(-a/3)

将u代入椭圆曲线方程，得到：

16/z^2 = (27 - 16a sqrt(-a/3) + 12a sqrt(-a/3)^2)/(3sqrt(-a/3))^2

化简得：

16/z^2 = (27 + 4a sqrt(-a/3))/(3a/4)

令v = -4a/27，则上式变为：

z^2 = 4/(27v + 1)

因此，椭圆曲线的长半轴和短半轴分别为：

a = -27v/4
b = 1/4

长半轴为2sqrt(3)/sqrt(-v)，短半轴为sqrt(3)/sqrt(-v)。