参数方程为 {█(x=3+4 cos t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤ (2.10) 通过对参数方程进行分析来判断交线的形状，可发现该柱面与平面的交线形状是椭圆，以下为分析。 我们可以将（2.10）表示为向量的形式： r(t)=(3+4 cos⁡t，4+4 sin⁡t，(8 cos⁡t-4 sin⁡t+6)/3) (2.11) 得到该曲线的切向量和法向量 r'(t)=(-4 sin⁡t，4 cos⁡t，(8 cos⁡t-4 sin⁡t)/3) (2.12) r''(t) =(-4 cos⁡t，-4 sin⁡t，(8 cos⁡t+4 sin⁡t)/3) (2.13) 对于任意t，r'(t)和r''(t)都不为零，因此该曲线无奇点。观察z的表达式，发现z的取值范围为[4/3，20/3]，这意味着该曲线的中心在(3，4， 8/3)处，z方向的长度为16/3。 求曲线的长半轴和短半轴

根据椭圆的定义，长半轴和短半轴分别为交线在中心处沿着法向量和切向量方向的长度。中心点已经求出为 (3, 4, 8/3)，因此我们只需要求出在该点处的法向量和切向量即可。

将参数方程代入切向量公式 r'(t)=(-4 sin⁡t，4 cos⁡t，(8 cos⁡t-4 sin⁡t)/3)，得到在中心点处的切向量为 r'(0) = (-4, 4, 8/3)。

将参数方程代入法向量公式 v = r'(t) × r''(t)，得到在中心点处的法向量为 v = (-32/3, -32/3, -16/3)。

因此，交线在中心处沿着切向量方向的长度为 |r'(0)| = sqrt((-4)^2 + 4^2 + (8/3)^2) = 4sqrt(26)/3，沿着法向量方向的长度为 |v| = sqrt((-32/3)^2 + (-32/3)^2 + (-16/3)^2) = 16sqrt(26)/3。

所以，长半轴为 16sqrt(26)/3，短半轴为 4sqrt(26)/3。