怎样三维曲线{█(x=3+4 cos⁡t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t )-(4+4 sin⁡t )+4)/3)┤ 在空间中的形状，并分析其几何特征

该三维曲线的形状是一个椭圆。

该曲线是由参数方程 x=3+4 cos(t)，y=4+4 sin(t)，z=(2(3+4 cos(t))-(4+4 sin(t))+4)/3 给出的。我们可以将其表示为向量形式：

r(t) = ⟨3+4 cos(t), 4+4 sin(t), (2(3+4 cos(t))-(4+4 sin(t))+4)/3⟩

我们可以计算出该曲线的切向量和法向量：

r'(t) = ⟨-4sin(t), 4cos(t), (8sin(t)-4cos(t))/3⟩
r''(t) = ⟨-4cos(t), -4sin(t), (8cos(t)+4sin(t))/3⟩

对于任意 t，r'(t) 和 r''(t) 都不为零。因此，该曲线没有任何奇点或自交点。

通过观察 z 的表达式，我们可以发现 z 的取值范围为 [4/3, 20/3]。这意味着该曲线的中心在 (3, 4, 8/3) 处，z 方向的长度为 16/3。

因此，该曲线是一个在空间中的轴对称椭圆，中心为 (3, 4, 8/3)，z 方向的长度为 16/3。

相关问题

求三维椭圆曲线{█(x=3+4 cost@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤的中心点（x0.y0,z0)

这个三维椭圆曲线的参数方程为：

x = 3 + 4cos(t)
y = 4 + 4sin(t)
z = (2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3

将 x、y、z 分别减去它们的平均值，即可得到中心点的坐标：

x0 = (1/2π)∫[0,2π] (3 + 4cos(t))dt = 3
y0 = (1/2π)∫[0,2π] (4 + 4sin(t))dt = 4
z0 = (1/2π)∫[0,2π] [(2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3]dt = 2

因此，这个三维椭圆曲线的中心点坐标为 (3, 4, 2)。

在解析几何中判断{█(x=a+r cos⁡t@y=b+r sin⁡t@z=(-A(a+r cos⁡t )-B(b+r sin⁡t )-D)/C)┤的形状

这个式子描述了一个三维空间中的点，其中a,b,r,A,B,C,D,t都是常数。根据解析几何的知识，这个式子描述的几何形状可以通过分析C、A、B、D四个常数的符号来确定。

- 如果C>0，则这个式子描述的是一个半空间，它在平面Ax+By+Cz+D=0的一侧。
- 如果C<0，则这个式子描述的是另一个半空间，它在平面Ax+By+Cz+D=0的另一侧。
- 如果C=0，那么这个式子描述的就是一个平面，Ax+By+Dz+D=0。
- 如果A=A=B=0，那么这个式子描述的是一个点。
- 如果A和B至少有一个不为0，那么这个式子描述的是一个圆柱体的侧面或者是一个平面与圆柱体相交的曲线。

因此，要判断这个式子描述的形状，需要先确定C、A、B、D的符号，然后根据上述规则进行分析。