判断三维曲线{█(x=3+4 cos⁡t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t )-(4+4 sin⁡t )+4)/3)┤ 在空间中的形状是否为椭圆，并分析其几何特征

是的，这个三维曲线的形状是椭圆。

该曲线是由参数方程 x=3+4cos(t)，y=4+4sin(t)，z=(2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3 给出的。我们可以将其表示为向量形式：

r(t) = ⟨3+4cos(t), 4+4sin(t), (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3⟩

我们可以计算出该曲线的切向量和法向量：

r'(t) = ⟨-4sin(t), 4cos(t), (8sin(t)-4cos(t))/3⟩
r''(t) = ⟨-4cos(t), -4sin(t), (8cos(t)+4sin(t))/3⟩

对于任意 t，r'(t) 和 r''(t) 都不为零。因此，该曲线没有任何奇点或自交点。

通过观察 z 的表达式，我们可以发现 z 的取值范围为 [4/3, 20/3]。这意味着该曲线的中心在 (3, 4, 8/3) 处，z 方向的长度为 16/3。

因此，该曲线是一个在空间中的轴对称椭圆，中心为 (3, 4, 8/3)，z 方向的长度为 16/3。

相关问题

判断三维曲线{█(x=3+4 cos⁡t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t )-(4+4 sin⁡t )+4)/3)┤ 在空间中的形状，并分析其几何特征

该三维曲线的形状是一个椭圆。

该曲线是由参数方程 x=3+4cos(t)，y=4+4sin(t)，z=(2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3 给出的。我们可以将其表示为向量形式：

r(t) = ⟨3+4cos(t), 4+4sin(t), (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3⟩

我们可以计算出该曲线的切向量和法向量：

r'(t) = ⟨-4sin(t), 4cos(t), (8sin(t)-4cos(t))/3⟩
r''(t) = ⟨-4cos(t), -4sin(t), (8cos(t)+4sin(t))/3⟩

对于任意 t，r'(t) 和 r''(t) 都不为零。因此，该曲线没有任何奇点或自交点。

通过观察 z 的表达式，我们可以发现 z 的取值范围为 [4/3, 20/3]。这意味着该曲线的中心在 (3, 4, 8/3) 处，z 方向的长度为 16/3。

因此，该曲线是一个在空间中的轴对称椭圆，中心为 (3, 4, 8/3)，z 方向的长度为 16/3。

怎样判断三维曲线{█(x=3+4 cos⁡t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t )-(4+4 sin⁡t )+4)/3)┤ 在空间中的形状，并分析其几何特征

该三维曲线的形状是一个椭圆。

该曲线是由参数方程 x=3+4cos(t)，y=4+4sin(t)，z=(2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3 给出的。我们可以将其表示为向量形式：

r(t) = ⟨3+4cos(t), 4+4sin(t), (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3⟩

我们可以计算出该曲线的切向量和法向量：

r'(t) = ⟨-4sin(t), 4cos(t), (8sin(t)-4cos(t))/3⟩
r''(t) = ⟨-4cos(t), -4sin(t), (8cos(t)+4sin(t))/3⟩

对于任意 t，r'(t) 和 r''(t) 都不为零。因此，该曲线没有任何奇点或自交点。

通过观察 z 的表达式，我们可以发现 z 的取值范围为 [4/3, 20/3]。这意味着该曲线的中心在 (3, 4, 8/3) 处，z 方向的长度为 16/3。

因此，该曲线是一个在空间中的轴对称椭圆，中心为 (3, 4, 8/3)，z 方向的长度为 16/3。