将椭圆参数方程{█(x=3+4 cos⁡t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t )-(4+4 sin⁡t )+4)/3)┤化成标准方程

首先，我们需要将椭圆参数方程化为向量形式：

r(t) = <3+4cos(t), 4+4sin(t), (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3>

接下来，我们可以将向量形式的参数方程转换为标准方程。标准方程为：

((x-h)^2/a^2) + ((y-k)^2/b^2) + ((z-l)^2/c^2) = 1

其中 (h,k,l) 是椭圆中心的坐标， a,b,c 分别是椭圆在 x,y,z 三个方向上的半轴长度。

首先，我们需要找到椭圆中心的坐标。由于 x 和 y 的系数分别为 4cos(t) 和 4sin(t)，它们的平均值为 0，因此中心坐标为 (3,4,4/3)。

接下来，我们需要确定椭圆在 x,y,z 三个方向上的半轴长度。我们可以使用向量形式的参数方程计算出椭圆在 x,y,z 三个方向上的长度：

a = ||<4cos(t), 0, 0>|| = 4|cos(t)|
b = ||<0, 4sin(t), 0>|| = 4|sin(t)|
c = ||<8cos(t)-4sin(t), 0, 4/3>|| = 4sqrt(5cos^2(t)-2cos(t)sin(t)+5sin^2(t))/3

将这些值代入标准方程中，得到椭圆的标准方程为：

((x-3)^2/16) + ((y-4)^2/16) + ((3z-4)^2/25) = 1

因此，椭圆的标准方程为 ((x-3)^2/16) + ((y-4)^2/16) + ((3z-4)^2/25) = 1。

相关问题

由参数方程{█(x=3+4 cos﷩t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤求该椭圆曲线的半轴

这个参数方程描述的是一个椭圆曲线。根据椭圆的定义，它有两个轴，分别是长轴和短轴。

首先，我们可以将参数方程转换为标准形式的方程。将 $x$ 和 $y$ 带入第三个方程，可以得到 $z$ 的表达式：

$$z = \frac{2(3+4\cos t) - (4+4\sin t) + 4}{3} = \frac{8\cos t - 4\sin t + 10}{3}$$

现在我们有了标准形式的方程：

$$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{16} + \frac{(z-10/3)^2}{64/9} = 1$$

这个方程告诉我们，长轴和短轴的长度分别是 $2\sqrt{\frac{64}{9}}=8/3$ 和 $2\sqrt{\frac{16}{9}}=8/3$。

因此，该椭圆曲线的长轴和短轴的长度都是 $8/3$。

求椭圆{█(x=3+4 cos﷩t@y=4+4 sin⁡t@z=(2(3+4 cos⁡t)-(4+4 sin⁡t)+4)/3)┤的中心

这个椭圆的参数方程为：

x = 3 + 4cos(t)
y = 4 + 4sin(t)
z = (2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3

将 x 和 y 分别减去它们的平均值，即可得到椭圆的中心坐标：

x0 = (1/2π)∫[0,2π] (3 + 4cos(t))dt = 3
y0 = (1/2π)∫[0,2π] (4 + 4sin(t))dt = 4

因此，椭圆的中心坐标为 (3, 4)。