求柱面(x-3)^2+(y-4)^2=4^2与平面-2x+y+3z-4=0所得交线椭圆的长半轴和短半轴

首先，将柱面方程和平面方程联立，解得该交线的参数方程为：

x = 3 + 2cos(t)
y = 4 + 2sin(t)
z = (2/3)cos(t) + (1/3)sin(t)

其中，t 为参数。

接下来，我们需要求解该交线椭圆的长半轴和短半轴。由于该椭圆是柱面和平面的交线，因此可以通过求解柱面和平面的法向量来得到椭圆的长轴和短轴方向。

柱面的法向量为 (x-3, y-4, 0)，平面的法向量为 (-2, 1, 3)。由于交线椭圆中心点位于柱面和平面的交点，因此可以通过求解柱面和平面的交点来确定椭圆的中心点。

将平面方程代入柱面方程，得到：

(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16
-2x + y + 3z - 4 = 0

解得柱面和平面的交点为 (5/2, 1/2, 1/3)。

在此基础上，可以得到椭圆的中心点为 (5/2, 1/2, 1/3)。接下来，需要求解椭圆在中心点处沿着法向量和切向量方向的长度，即椭圆的短半轴和长半轴。

沿着法向量方向，椭圆的短半轴长度为该交线在中心点处的法向量与平面法向量的夹角余弦值与沿着柱面法向量方向的长度的乘积。由于该交线在中心点处的法向量为 (0, 0, 1)，平面法向量为 (-2, 1, 3)，因此该夹角的余弦值为 |-3/sqrt(14)|，沿着柱面法向量方向的长度为 4。因此，椭圆的短半轴长度为 12/sqrt(14)。

沿着切向量方向，椭圆的长半轴长度为该交线在中心点处的切向量的长度。将参数方程对 t 求一阶导数得到：

dx/dt = -2sin(t)
dy/dt = 2cos(t)
dz/dt = (-2/3)sin(t) + (1/3)cos(t)

因此，该交线在中心点处的切向量为 (-2, 2, 2/3)。椭圆的长半轴长度为该向量的长度，即 2sqrt(7)/3。

综上所述，该交线椭圆的长半轴长度为 2sqrt(7)/3，短半轴长度为 12/sqrt(14)。