参数方程为 {█(x=3+4 cos t@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤ (2.10) 通过对参数方程进行分析来判断交线的形状,可发现该柱面与平面的交线形状是椭圆,以下为分析。 我们可以将(2.10)表示为向量的形式: r(t)=(3+4 cost,4+4 sint,(8 cost-4 sint+6)/3) (2.11) 得到该曲线的切向量和法向量 r'(t)=(-4 sint,4 cost,(8 cost-4 sint)/3) (2.12) r''(t) =(-4 cost,-4 sint,(8 cost+4 sint)/3) (2.13) 对于任意t,r'(t)和r''(t)都不为零,因此该曲线无奇点。观察z的表达式,发现z的取值范围为[4/3,20/3],这意味着该曲线的中心在(3,4, 8/3)处,z方向的长度为16/3。 求曲线的长半轴和短半轴
时间: 2024-02-26 14:54:17 浏览: 62
切向量和法向量已经求出,中心点也已经确定,因此我们只需要求出在中心点处的长轴和短轴即可。
首先,需要求出椭圆在中心点处沿着法向量方向的长度,即椭圆的短半轴。根据题目中的参数方程,可以得到中心点的坐标为 (3, 4, 8/3),此时 z 坐标的取值范围为 [4/3, 20/3],因此沿着法向量方向的长度为 16/3。
接下来,需要求出椭圆在中心点处沿着切向量方向的长度,即椭圆的长半轴。由于椭圆是柱面和平面的交线,因此可以通过求解柱面和平面的方程来得到切向量的方向。平面方程已经给出,为 z = 4,柱面方程为 (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16,将其代入参数方程得到:
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16
z = (2(x - 3) - (y - 4) + 4)/3
对 x 和 y 分别求偏导数得到:
2(x - 3) + 2(y - 4)y' = 0
-y' + 2/3 = 0
解方程组得到 y' = 2/9,代入切向量公式 r'(t)=(-4 sint,4 cost,(8 cost-4 sint)/3) 中,得到在中心点处的切向量为 r'(0) = (-4, 4, 8/3)。
因此,沿着切向量方向的长度为 |r'(0)| = sqrt((-4)^2 + 4^2 + (8/3)^2) = 4sqrt(26)/3。
综上所述,椭圆的长半轴为 4sqrt(26)/3,短半轴为 16/3。
相关问题
将椭圆参数方程{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost )-(4+4 sint )+4)/3)┤化成标准方程
首先,我们需要将椭圆参数方程化为向量形式:
r(t) = <3+4cos(t), 4+4sin(t), (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3>
接下来,我们可以将向量形式的参数方程转换为标准方程。标准方程为:
((x-h)^2/a^2) + ((y-k)^2/b^2) + ((z-l)^2/c^2) = 1
其中 (h,k,l) 是椭圆中心的坐标, a,b,c 分别是椭圆在 x,y,z 三个方向上的半轴长度。
首先,我们需要找到椭圆中心的坐标。由于 x 和 y 的系数分别为 4cos(t) 和 4sin(t),它们的平均值为 0,因此中心坐标为 (3,4,4/3)。
接下来,我们需要确定椭圆在 x,y,z 三个方向上的半轴长度。我们可以使用向量形式的参数方程计算出椭圆在 x,y,z 三个方向上的长度:
a = ||<4cos(t), 0, 0>|| = 4|cos(t)|
b = ||<0, 4sin(t), 0>|| = 4|sin(t)|
c = ||<8cos(t)-4sin(t), 0, 4/3>|| = 4sqrt(5cos^2(t)-2cos(t)sin(t)+5sin^2(t))/3
将这些值代入标准方程中,得到椭圆的标准方程为:
((x-3)^2/16) + ((y-4)^2/16) + ((3z-4)^2/25) = 1
因此,椭圆的标准方程为 ((x-3)^2/16) + ((y-4)^2/16) + ((3z-4)^2/25) = 1。
将{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤化为椭圆曲线的标准式
首先,我们需要将参数方程转换为笛卡尔坐标系中的方程。
我们可以将参数t表示为x=3+4cos(t)和y=4+4sin(t)的函数。将z代入原方程,得到:
z = (2(3+4cos(t))-(4+4sin(t))+4)/3
z = (6+8cos(t)-4-4sin(t)+4)/3
z = (2+8cos(t)-4sin(t))/3
现在,我们可以将x、y、z表示为变量a、b、c的函数。
x = 3 + 4cos(t) = a
y = 4 + 4sin(t) = b
z = (2+8cos(t)-4sin(t))/3 = c
接下来,我们将a、b、c代入椭圆曲线的标准式中:
((a-3)/4)^2 + ((b-4)/4)^2 + ((3c-2)/8)^2 = 1
因此,将{█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤化为椭圆曲线的标准式为:
((x-3)/4)^2 + ((y-4)/4)^2 + ((3z-2)/8)^2 = 1
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