Python编程求平面 =1和柱面x² +y² = 1 的交线上与x平面距离最短的点

答：可以通过 Lagrange 乘子法求得该问题的解。最终解为在交线上，x、y、z 的值分别为±(1/√2)，0, ±(1/√2) 的点，该点与 x 平面的距离为 1/√2。关于 Lagrange 乘子法的详细步骤，您可以参考相关资料进行学习。

相关问题

求双曲抛物面z=xy被柱面x²+y²=1(x>=0,y>=0)截下的部分的面积

首先，柱面$x^2 + y^2 = 1$在第一象限中的投影区域为一个四分之一的圆盘，即$D = \{(x,y)|x\ge 0, y\ge 0, x^2 + y^2 \le 1\}$，如下图所示：


其次，双曲抛物面$z=xy$在第一象限中可以表示为$z = f(x,y) = xy$，如下图所示：


因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为：

$$
\begin{aligned}
S &= \iint\limits_D f(x,y) d\sigma \\
&= \int\limits_0^1\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}} xy dy dx \\
&= \int\limits_0^1 x\left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx \\
&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 x(1-x^2) dx \\
&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^1 \\
&= \frac{1}{8}
\end{aligned}
$$

因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为$\frac{1}{8}$。

用matlab做柱面x²+y²=1和x²+z²=1相交所形成的空间曲线在第一卦限的图形

可以使用MATLAB的三维绘图工具箱中的`plot3`函数绘制曲线。首先，需要生成x、y和z的数据点，以表示曲线上的点。然后，使用`plot3`函数将这些点绘制成曲线。以下是实现的代码：

% 生成x、y和z的数据点
theta = linspace(0, pi/2, 100);
x = cos(theta);
y = sin(theta);
z = sqrt(1 - x.^2);

% 绘制曲线
figure;
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(x, -y, z, 'LineWidth', 2);
plot3(x, y, -z, 'LineWidth', 2);
plot3(x, -y, -z, 'LineWidth', 2);
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('空间曲线 x^2 y^2=1 和 x^2 z^2=1 的相交线');
grid on;

这段代码首先生成了theta值的linspace，然后使用x、y和z的函数生成数据点。接着，使用`plot3`函数将这些点绘制成曲线。最后，添加标签、标题和网格。运行这段代码，将会得到以下图形：


这个图形显示了曲线在第一卦限的形状。曲线通过四个象限，因此我们需要绘制四个曲线段来完全表示曲线。