矩阵乘以其伴随矩阵为什么等于矩阵的模

矩阵乘以其伴随矩阵等于矩阵的行列式的倍数，即$A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I$，其中$A$为$n$阶方阵，$adj(A)$为$A$的伴随矩阵，$I$为$n$阶单位矩阵。因此，若矩阵$A$的行列式$det(A)\neq0$，则$A$可逆，$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot adj(A)$，则$A\cdot A^{-1}=det(A)\cdot I$。因为$det(A)\neq0$，所以$det(A)>0$，因此$A\cdot A^{-1}=det(A)\cdot I>0$，即$A\cdot A^{-1}$是正定矩阵，因此它的特征值均为正实数，所以$\sqrt{\lambda_i(A\cdot A^{-1})}>0$，其中$\lambda_i(A\cdot A^{-1})$表示$A\cdot A^{-1}$的第$i$个特征值。因此，$||A||\cdot||A^{-1}||=\sqrt{\lambda_{max}(A\cdot A^{-1})}=\sqrt{det(A)\cdot det(adj(A))}=\sqrt{det(A)^2}=|det(A)|=det(A)$，即$||A||\cdot||A^{-1}||=det(A)$。因此，$A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I=||A||\cdot||adj(A)||$，即$||A\cdot adj(A)||=||A||\cdot||adj(A)||=det(A)$，因此矩阵乘以其伴随矩阵的模等于矩阵的行列式。

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矩阵乘以矩阵的伴随等于行列式乘以矩阵

非常抱歉，我之前的回答有误，请允许我进行更正。矩阵乘以其伴随矩阵并不等于行列式乘以矩阵。

事实上，矩阵乘以其伴随矩阵会得到一个特殊的矩阵，称为伴随矩阵的逆矩阵与矩阵的行列式的乘积。具体来说，对于一个 n × n 的矩阵 A，它的伴随矩阵记作 adj(A)，则有以下等式成立：

A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) * I

其中，det(A) 表示矩阵 A 的行列式，I 是单位矩阵。

这个等式表明，矩阵 A 乘以其伴随矩阵（或者由其伴随矩阵乘以 A）的结果是一个数量乘以单位矩阵。

再次对之前的错误回答表示诚挚的道歉，希望这次能够解答您的问题。如果还有其他问题，请随时提问。

行列式乘其伴随阵为什么等于行列式的模乘单位矩阵

我们知道，一个n阶方阵A的伴随阵记作adj(A)，其定义为A的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵。即

adj(A) = (A_ij)^(T)

其中A_ij是A的第i行第j列的代数余子式。而A的行列式记作det(A)。

那么，根据行列式的性质，有det(A)*adj(A) = A^(T)*A。

因此，如果A是一个可逆矩阵，那么A的逆矩阵A^(-1)就可以表示为：

A^(-1) = adj(A) / det(A)

因此，我们可以得到：

det(A)*adj(A) = A^(T)*A = |A|^2 * I

其中I是单位矩阵，|A|是A的行列式模。

因此，行列式乘其伴随阵等于行列式的模乘以单位矩阵。