(1)若f】《)=", £Q)=g),厶。)=*)—Y—4),试证明卷积满足如下结论: ①f3 * h(l)= h(t) ②人(z) * C/2 M +/3 (z)]=人(。)* ft (t) +£* f3 (Z)。 (2)自己寻找两个不同的函数,重复上述操作,比较所得结果。
时间: 2023-08-13 20:04:36 浏览: 73
(1)
为了证明卷积满足上述结论,需要使用卷积的定义和性质进行推导:
① f(t) * h(t) = ∫ f(τ) h(t-τ) dτ
设 g(t) = h(-t),则
f(t) * g(t) = ∫ f(τ) g(t-τ) dτ
令 τ = t-τ',则 dτ = -dτ',代入上式得:
f(t) * g(t) = ∫ f(t-τ') g(τ') (-dτ')
交换积分变量 τ' 和 -τ',得到:
f(t) * g(t) = ∫ f(t+τ') g(-τ') dτ'
由于 g(t) = h(-t),因此 g(-t) = h(t),代入上式得到:
f(t) * h(t) = ∫ f(t+τ') h(τ') dτ'
令 τ' = t-τ,得到:
f(t) * h(t) = ∫ f(τ) h(t-τ) dτ
即证得结论①。
② f(t) * [g1(t) + g2(t)] = f(t) * g1(t) + f(t) * g2(t)
根据卷积的定义,有:
f(t) * [g1(t) + g2(t)] = ∫ f(τ) [g1(t-τ) + g2(t-τ)] dτ
将 g1(t-τ) 和 g2(t-τ) 拆分开来,得到:
f(t) * [g1(t) + g2(t)] = ∫ f(τ) g1(t-τ) dτ + ∫ f(τ) g2(t-τ) dτ
即 f(t) * [g1(t) + g2(t)] = f(t) * g1(t) + f(t) * g2(t)
即证得结论②。
(2)
为了比较不同函数的卷积结果,可以选择两个不同的函数进行计算。例如,可以选择如下两个函数:
f(x) = x^2,g(x) = x^3
则它们的卷积为:
f(x) * g(x) = ∫ x'^2 (x-x')^3 dx'
= ∫ x'^2 (x^3 - 3x^2 x' + 3x x'^2 - x'^3) dx'
= x^5/5 - 2x^4/4 + x^3/3
另外选择两个函数:
h(x) = sin(x),k(x) = cos(x)
则它们的卷积为:
h(x) * k(x) = ∫ sin(τ) cos(x-τ) dτ
= (cos(x) - sin(x))/2
通过比较这两组计算结果,可以发现不同函数的卷积结果具有不同的特点。例如,第一组函数卷积结果为一个多项式函数,而第二组函数卷积结果为一个三角函数。这说明卷积可以将两个函数的信息融合在一起,得到一个新的函数,使得新函数具有原函数所不具备的特征。
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