用matlab求解av+v a专转置+n=0的解,求v,已知a,和n为符号矩阵
时间: 2023-05-28 17:02:59 浏览: 62
假设a和v都是n行1列的向量,可以将av和va专转置表示为矩阵相乘的形式,即av为n×n矩阵A和n×1列向量v的乘积,va专转置为n×1列向量v和1×n矩阵A专转置的乘积。则原方程可以表示为矩阵方程:
A*v + (A')*v + n = 0
移项得:
(A + A')*v = -n
因为n是符号矩阵,即只有0和1两个元素,因此可以将其表示为2n-1的形式,其中2表示2倍,n-1表示矩阵中的元素只能是-1或1。于是原方程可以进一步表示为:
(A + A')*v = -(2n-1)
因为A和A'都是实对称矩阵,因此A+A'也是实对称矩阵,可以使用eig函数求解其特征值和特征向量。特征值为正的特征向量构成的矩阵就是(A+A')的正交基,可以用它来求解v的解析表达式。具体地,假设(A+A')的特征值为λ1, λ2, ..., λn,对应的特征向量为v1, v2, ..., vn,则有:
v = c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn
其中c1, c2, ..., cn为待确定的常数。将v代入原方程,有:
(A + A')*(c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn) = -(2n-1)
左右两边同时乘以vi的转置,得:
λi*vi'*(c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn) = -vi'*(2n-1)
因为(A+A')的特征向量是正交的,即vi'vj=0 (i≠j),因此上式可以进一步化简为:
λi*ci = -vi'*(2n-1)
则有:
ci = -vi'*(2n-1) / λi
将ci代入v的表达式即可得到v的解析表达式。具体实现代码如下:
% 输入矩阵a和符号矩阵n
a = [1; 2; 3];
n = eye(3);
% 计算(A+A')的特征值和特征向量
A = a*a' + (a*a)';
[V, D] = eig(A);
lambda = diag(D);
% 计算常数c
c = -V'*(2*n-1) ./ lambda;
% 计算v的解析表达式
v = V*c;
% 输出结果
disp(v);