证明向量p垂直于k维超平面H的充要条件是向量p属于H的法向量所张成的平面。

充分性证明：

假设向量$p$属于$H$的法向量所张成的平面，记该平面为$P$。由于$H$是$k$维超平面，因此$H$的法向量可以表示为$k$个线性无关的向量的线性组合，记为$\{n_1,n_2,\dots,n_k\}$，则有：

$$n_1 \cdot p = n_2 \cdot p = \cdots = n_k \cdot p = 0$$

由此可知，向量$p$与向量$n_1,n_2,\dots,n_k$均垂直，即向量$p$垂直于$H$。

必要性证明：

假设向量$p$垂直于$H$，则$p$与$H$的法向量$n$垂直。由于$H$为$k$维超平面，因此$n$可以表示为$k$个线性无关的向量的线性组合，记为$\{n_1,n_2,\dots,n_k\}$。则有：

$$n = a_1n_1 + a_2n_2 + \cdots + a_kn_k$$

其中$a_1,a_2,\dots,a_k$为任意常数。由于$p$与$n$垂直，因此有：

$$n \cdot p = (a_1n_1 + a_2n_2 + \cdots + a_kn_k) \cdot p = 0$$

上式说明，向量$p$与$n_1,n_2,\dots,n_k$张成的平面垂直，即向量$p$属于$H$的法向量所张成的平面。因此，必要性得证。

相关问题

为什么两个向量叉乘结果是行列式的值

首先，两个向量的叉积（也称为向量积）是一个向量，不是一个标量。两个向量的叉积的长度等于这两个向量所张成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面。

其次，两个向量的叉积的坐标可以表示为一个行列式的形式，即：

$$
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$

其中，$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$ 分别是 $x$、$y$、$z$ 三个方向的单位向量，$a_1$、$a_2$、$a_3$ 和 $b_1$、$b_2$、$b_3$ 分别是两个向量的坐标。

这个行列式的值等于两个向量的叉积的长度，也就是所张成的平行四边形的面积。同时，它的符号表示了两个向量的叉积的方向，符号为正表示两个向量的叉积的方向指向平面法向量所在的方向，符号为负则相反。

把上面关于向量组的一些基本结论和经典问题扩展讲一下

向量组是线性代数中的基本概念，可以用来描述物理、几何等实际问题，并且在计算机科学、机器学习等领域也有广泛的应用。对于一个向量组，我们可以讨论它的独立性、相关性、线性组合、线性表出等重要性质。

首先，一个向量组的线性独立性是指其中任意一个向量不能表示为其他向量的线性组合。如果向量组中任意一个向量都能被其他向量线性表示，则该向量组具有线性相关的性质。我们可以通过高斯消元法等方法求解一个向量组的线性独立性和相关性。

其次，一个向量组的线性组合是指将向量组中的向量按一定系数加权求和得到的新的向量。向量组的线性表出则是将一个向量表示为向量组中各个向量的线性组合。线性组合与线性表出是非常重要的概念，它们可以用来表示向量的投影、距离等实际问题。

此外，对于一个向量组，我们还可以讨论其维数、基底、余维数等概念。一个向量组的维数是指向量组中线性独立的向量个数，而基底则是向量组中任意一个向量都可以由基底中的向量线性表出的向量组。余维数是指一个向量组中线性相关的向量个数，其余向量的个数即为余维数。

对于经典的问题，如张成、线性变换、基底变换、Gram-Schmidt正交化等，都与向量组密不可分。在学习向量组的相关知识过程中，这些问题都是必须要熟练掌握的。

以上就是关于向量组的基本结论和经典问题的扩展讲解，希望能对您有所帮助。