Gram-Schmidt正交化方法
时间: 2023-12-28 13:05:49 浏览: 20
Gram-Schmidt正交化方法是一种将线性无关的向量组转化为一组正交向量组的方法。具体步骤如下:
1. 取线性无关的向量组 $v_1,v_2,\cdots,v_n$。
2. 令 $u_1=v_1$。
3. 对于 $i=2,3,\cdots,n$,令 $u_i=v_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{\langle v_i,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j$,其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示内积。
4. 对于 $i=1,2,\cdots,n$,令 $w_i=\frac{u_i}{\|u_i\|}$,其中 $\|\cdot\|$ 表示向量的模长。
最终得到的向量组 $w_1,w_2,\cdots,w_n$ 是一组正交向量组,且与原向量组张成同样的向量空间。
需要注意的是,由于计算中存在除法操作,如果某个 $u_i$ 的模长为 $0$,则无法进行下一步计算,此时需要将该向量视为 $0$ 向量。
相关问题
Gram-Schmidt正交化过程
Gram-Schmidt正交化过程是一种将一组线性无关的向量转换成一组标准正交向量的算法。
具体步骤如下:
设 $V=\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_n}\}$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $E^n$ 中的一组基。
令 $\boldsymbol{u_1}=\boldsymbol{v_1}$。
对于 $i=2,3,\cdots,n$,定义
$$\boldsymbol{u_i}=\boldsymbol{v_i}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\langle \boldsymbol{v_i},\boldsymbol{u_j}\rangle}{\langle \boldsymbol{u_j},\boldsymbol{u_j}\rangle}\boldsymbol{u_j}$$
其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示内积。这一步将 $\boldsymbol{v_i}$ 投影到与前面的 $\boldsymbol{u_j}$ 垂直的平面上,并将其减去,得到新的向量 $\boldsymbol{u_i}$。
最后,对每个 $\boldsymbol{u_i}$ 进行标准化,即
$$\boldsymbol{e_i}=\frac{\boldsymbol{u_i}}{\|\boldsymbol{u_i}\|}$$
此时,$\{\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n}\}$ 就是一组标准正交基。
矩阵理论-schmidt正交化
Schmidt正交化是一种将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。Gram-Schmidt算法和Modified Gram-Schmidt算法是两种常见的Schmidt正交化算法。其中,Gram-Schmidt算法将矩阵X分解为两个矩阵Q和R,其中Q是正交或正交矩阵,R是上三角矩阵。而Modified Gram-Schmidt算法则通过对Gram-Schmidt算法进行改进,提高了数值稳定性。在实际应用中,Schmidt正交化常用于解决线性代数中的一些问题,如线性回归、主成分分析等。
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