怎么由P是正规变换得到它是正交投射
时间: 2023-12-06 20:42:15 浏览: 15
若P是正规变换,则有$P^*P=PP^*$。我们来证明P是正交投影。
对于任意向量x,设Px为P将x投影到它的像空间中的向量,Px'为P将x投影到它的核空间中的向量。
则有$x=Px+Px'$,且$Px \perp Px'$,因为像空间和核空间是正交补空间。
又因为P是正规变换,所以有$P^*Px=PP^*x$和$P^*Px'=PP^*x'$。
对上述两式左右两边同时左乘x的共轭转置,得到:
$$(P^*Px,x) = (PP^*x,x)$$
$$(P^*Px',x) = (PP^*x',x)$$
由于$Px$和$Px'$是$x$在像空间和核空间的投影,因此有$Px \parallel PP^*x$,$Px' \parallel PP^*x'$。因此,$(P^*Px,x)=(Px,Px)=(PP^*x,Px)=(Px,PP^*x)=(Px,PP^*x')=(P^*Px',x)$。
又因为$Px \perp Px'$,所以$(P^*Px,x)+(P^*Px',x)=(Px,Px)+(Px',Px')=\|x\|^2$。
因此,$(P^*Px,x)=\frac{\|x\|^2}{2}$,$(P^*Px',x)=\frac{\|x\|^2}{2}$。
注意到$(P^*Px',x)$实际上就是$Px'\cdot x$,即向量$Px'$与向量$x$的点积。因为$Px'$是$x$在核空间中的投影,所以它垂直于像空间中的向量$Px$,也就是说,$Px$和$Px'$张成了整个空间。因此,向量$x$可以表示为$Px+Px'$,且这个表示法是唯一的。
综上所述,我们得到:
$$(P^*Px,x)=(Px,Px)=(Px,Px+Px')=\frac{\|x\|^2}{2}$$
这说明$Px$是向量$x$在像空间中的投影,且P是正交投影。因此,P是正交投影矩阵,也就是正交投影变换。
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