证明当p^2=p时,p是正交投射与p是埃尔米特变换、p是正规变换等价
时间: 2023-12-06 10:42:33 浏览: 28
假设 $p^2 = p$,则有:
1. $p$ 是正交投射
要证明 $p$ 是正交投射,需要证明它满足以下两个条件:
(1)自反性:$p^2 = p$,即 $p$ 投射到自身上。
(2)正交性:对于任意向量 $x$ 和 $y$,如果 $p(x) = x$,$p(y) = y$,则 $p(x+y) = x+y$。
对于条件(1),由于 $p^2 = p$,所以 $p$ 投射到自身上。
对于条件(2),由于 $p(x) = x$,$p(y) = y$,则有:
$p(x+y) = p(x) + p(y) - p(x)p(y) = x + y - xy - xy = x + y - 2xy$
因为 $x$ 和 $y$ 是向量,所以 $xy$ 和 $yx$ 是内积。根据内积的对称性,$xy = yx$,所以 $p(x+y) = x+y-2xy = x+y-2yx = x+y-2p(y)x$。
因此,$p(x+y) = x+y$,$p$ 是正交投射。
2. $p$ 是埃尔米特变换
要证明 $p$ 是埃尔米特变换,需要证明它满足以下两个条件:
(1)对于任意向量 $x$ 和 $y$,有 $\langle p(x), y \rangle = \langle x, p(y) \rangle$。
(2)$p$ 是自伴的,即 $p = p^\dagger$。
对于条件(1),由于 $p^2 = p$,则有:
$\langle p(x), y \rangle = \langle p^2(x), y \rangle = \langle p(p(x)), y \rangle = \langle p(x), p(y) \rangle$
因此,$\langle p(x), y \rangle = \langle x, p(y) \rangle$,$p$ 是埃尔米特变换。
对于条件(2),由于 $p^2 = p$,则有:
$p^\dagger p^\dagger = (p^2)^\dagger = p^\dagger$
因此,$p = p^\dagger$,$p$ 是自伴的。
3. $p$ 是正规变换
要证明 $p$ 是正规变换,需要证明它满足以下条件:
(1)$p$ 是埃尔米特变换。
(2)$p$ 的所有本征值都是实数。
(3)$p$ 的本征向量可以正交归一化。
由前面的证明可知,$p$ 是埃尔米特变换。又因为:
$p^2 = p$
所以 $p$ 的特征多项式为:
$\det(p-\lambda I) = (\lambda-0)^{\dim(V)-\operatorname{rank}(p)}\lambda^{\operatorname{rank}(p)}$
其中 $\dim(V)$ 是 $V$ 的维数,$\operatorname{rank}(p)$ 是 $p$ 的秩。因为 $p$ 是投射变换,所以 $\operatorname{rank}(p) = \operatorname{tr}(p) = \dim(\operatorname{im}(p))$,即 $p$ 的秩等于它的像空间的维数。因此,特征多项式为:
$\det(p-\lambda I) = \lambda^{\operatorname{rank}(p)}$
$p$ 的所有本征值都是 $0$ 或 $1$。因为 $p$ 是投射变换,所以 $p$ 的像空间是它的特征子空间,对应本征值 $1$,而 $p$ 的零空间对应本征值 $0$。
对于本征值 $1$,$p$ 的本征向量可以正交归一化,因为 $p$ 是正交投射。
对于本征值 $0$,$p$ 的本征向量也可以正交归一化,因为 $p$ 是自伴的(埃尔米特变换)。
因此,$p$ 是正规变换。
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