π是无理数证明定积分_数学史上的第一次理论危机【无理数】

抱歉，我之前回答的是关于无理数的证明，跟你的问题不太相关。关于π是无理数的证明，最早是由德国数学家约翰·连恩哈德·林德曼于1761年提出的。他的证明方法是利用了连分数的性质，将π表示为连分数的形式，从而证明π是无理数。

后来，更加简洁的证明方法是由法国数学家夏尔·埃尔米特于1873年提出的。他的证明方法是通过假设π为有理数，然后利用定积分的性质和三角函数的周期性推导出一个矛盾，从而证明了π是无理数。

具体来说，假设π是有理数，即π=p/q，其中p和q是整数且互质。由于π是一个圆的周长与直径的比值，因此π是一个正数。我们可以通过定积分的性质，将π表示为一个积分形式：

π = 2∫[0,1]sqrt(1-x^2)dx

然后，我们可以利用三角函数的周期性质，将这个积分形式展开，得到：

π = 2∫[0,1]sqrt(1-x^2)dx = 4∫[0,1/2]sqrt(1-x^2)dx

接下来，我们对这个积分进行变量代换，令x=sin(t)，则有：

π = 4∫[0,pi/6]cos^2(t)dt

然后，我们可以将cos^2(t)表示为1-sin^2(t)，从而得到：

π = 4∫[0,pi/6](1-sin^2(t))dt = 4(pi/6) - 4∫[0,pi/6]sin^2(t)dt

注意到sin^2(t)是一个非负的函数，因此这个积分的结果不会大于pi/6。因此，我们有：

π < 4(pi/6) - 4(pi/6)/2 = 2pi/3

另一方面，由于p和q是整数且互质，因此p^2和q^2也是整数且互质。我们可以将上面的不等式两边乘以q^2，得到：

p^2q^2 < 4q^2(pi/3) - 2q^2π

因为π=p/q，所以上式右边的第一项可以表示为4pq(pi/3)，因此有：

p^2q^2 < 4pq(pi/3) - 2q^2π

化简得：

p^2 < 4p(pi/3q) - 2π(q/p)

由于p和q是互质的，因此q/p是一个无理数。而右边的第一项是一个整数，因此右边的第二项也必须是一个整数。但是，由于π是无理数，因此2π(q/p)也是一个无理数，不可能是一个整数。因此，我们得到了一个矛盾，即假设π为有理数是错误的，从而证明了π是无理数。