证明x[n]=e^（jnΠ/6）是周期函数

我们需要证明：存在正整数 N，使得对于任意整数 n，有 x[n]=x[n+N]。

首先，我们有：

x[n+N] = e^{j(n+N)π/6}

= e^{jnπ/6} * e^{jNπ/6}

因为 e^{jNπ/6} 是单位复数，所以它的模长为 1。因此，我们有：

|e^{jNπ/6}| = 1

接下来，我们考虑什么情况下，e^{jNπ/6} 等于 1。我们知道，当 N 是 12 的倍数时，有：

e^{jNπ/6} = e^{j(12k)π/6} = e^{j2kπ} = 1

其中 k 是任意整数。因此，当 N 是 12 的倍数时，我们有：

x[n+N] = e^{jnπ/6} * e^{jNπ/6} = e^{jnπ/6} * 1 = x[n]

也就是说，x[n] 在每 12 个整数为一周期。因此，x[n]=e^{jnπ/6} 是周期函数。

相关问题

Matlab 在同一图形窗口画三个子图，要求使用指令gtext、axis、legend、title、xlabel和ylabel： y=xcosx，x∈(-Π，Π) y=xtan1/xsinx3，x∈(-Π，4Π) y=e^(1/x)sinx，x∈[1,8]

在MATLAB中，要在一个图形窗口中画出这三个函数，并添加所需的文本、标签和标题等，可以按照以下步骤操作：

1. 创建新图形：

   figure;

2. 定义并画出第一个函数y=xcos(x)，范围(-π, π):

   x = linspace(-pi, pi, 100); % 生成等差数组
   y1 = x.*cos(x);
   
   subplot(3, 1, 1) % 第一个子图
   plot(x, y1, 'b', '-'); % 蓝色线型 '-'
   gtext('y = x * cos(x)', 'Color', 'black'); % 文本说明函数
   title('Function 1: y = x * cos(x)');
   xlabel('x');
   ylabel('y');
   axis([-pi pi -2 2]); % 设置x轴和y轴范围
   legend('y = x * cos(x)'); % 添加图例

3. 对第二个函数y=x*tan(1/x)*sin(x^3)，范围(-π, 4π):

   y2 = x .* tan(1./x).* sin(x.^3);
   subplot(3, 1, 2) % 第二个子图
   plot(x, y2, 'r', '--'); % 红色点线 '--'
   gtext('y = x * tan(1/x) * sin(x^3)', 'Color', 'black');

4. 绘制第三个函数y=e^(1/x) * sin(x)，范围[1, 8]:

   x3 = logspace(0, log10(8), 100); % 对数均匀分布
   y3 = exp(1 ./ x3) .* sin(x3);
   subplot(3, 1, 3) % 第三个子图
   plot(x3, y3, 'g', '.-'); % 绿色实线点 '.'-'
   gtext('y = e^(1/x) * sin(x)', 'Color', 'black');

5. 为所有子图统一轴标签、标题和其他样式（如果需要）。

for i = 1:3
    box off; % 关闭网格线框
    set(gca, 'TickDir', 'out'); % 将刻度标签朝外
end

现在你应该得到了包含三个函数及其描述的图形窗口。

x2(n)=e^i(n/8-π)的周期是16Π，作为序列根本没有周期

你的问题是关于离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质。DTFT是用于将离散时间信号转换为连续频率域的工具，它不同于傅里叶级数，傅里叶级数是用于将周期信号转换为频率域的工具。

对于给定的序列x(n)，如果其DTFT X(e^jω)在[-π,π]范围内是2π周期的，则称序列x(n)是周期性的，其周期为2π。但是，如果X(e^jω)在[-π,π]范围内不是2π周期的，则序列x(n)是非周期性的，无法定义其周期。

根据你提供的离散时间信号x2(n)=e^i(n/8-π)，它的DTFT为X(e^jω)=2πδ(ω-1/8)e^(-jπ)，这个DTFT在[-π,π]范围内不是2π周期的，因此x2(n)是非周期性的，无法定义其周期。