admm算法matlab

下面是一个简单的 MATLAB 代码，用于实现 ADMM 算法：

function [x, z] = admm(A, b, rho, max_iter)
% inputs:
% A: m x n matrix
% b: m x 1 vector
% rho: penalty parameter
% max_iter: maximum number of iterations
% outputs:
% x: n x 1 vector
% z: n x 1 vector

[m, n] = size(A);
x = zeros(n, 1);
z = zeros(n, 1);
u = zeros(n, 1);

for k = 1:max_iter
    % update x
    x = (A'*A + rho*eye(n)) \ (A'*b + rho*(z - u));

    % update z
    z_old = z;
    z = shrinkage(x + u, 1/rho);

    % update u
    u = u + x - z;

    % check convergence
    if norm(z - z_old) < 1e-3
        break;
    end
end

function y = shrinkage(x, kappa)
y = max(0, x - kappa) - max(0, -x - kappa);

其中，shrinkage 函数实现了软阈值运算，即：

$$\text{shrinkage}(x, \kappa) = \max(0, x - \kappa) - \max(0, -x - \kappa)$$

在 ADMM 算法中，软阈值运算用于更新 $z$。该算法的迭代过程如下：

$$
\begin{aligned}
x^{k+1} & = \left(\mathbf{A}^\top\mathbf{A} + \rho\mathbf{I}\right)^{-1} \left(\mathbf{A}^\top\mathbf{b} + \rho\left(\mathbf{z}^k - \mathbf{u}^k\right)\right) \\
\mathbf{z}^{k+1} & = \text{shrinkage}\left(\mathbf{x}^{k+1} + \mathbf{u}^k, \frac{1}{\rho}\right) \\
\mathbf{u}^{k+1} & = \mathbf{u}^k + \mathbf{x}^{k+1} - \mathbf{z}^{k+1}
\end{aligned}
$$

其中，$x^k$、$z^k$ 和 $u^k$ 分别表示第 $k$ 次迭代时的 $x$、$z$ 和 $u$。迭代终止条件通常是 $\|\mathbf{z}^{k+1} - \mathbf{z}^k\| < \varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 是一个较小的正数（例如 $10^{-3}$）。