如何根据系统的零极点分布图，分析系统的因果性和稳定性。

系统的零极点分布图可以帮助我们判断系统的因果性和稳定性。

1. 因果性：

如果系统的所有极点都位于单位圆内或左侧，所有零点都位于单位圆内左侧，则该系统是因果系统。因为因果系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号，而不依赖于未来的输入信号。如果系统有极点或零点位于单位圆外或右侧，那么该系统是非因果系统，因为它需要未来的输入信号才能计算输出信号。

2. 稳定性：

对于离散时间系统，我们可以通过观察系统的极点来判断系统的稳定性。如果系统的所有极点均位于单位圆内，则该系统是BIBO稳定的，即系统的输出对于有界的输入也是有界的。如果系统的极点有一个或多个位于单位圆外，则该系统是不稳定的，因为这些极点会导致系统的输出不断增长，无法收敛。如果系统的极点有一个或多个位于单位圆上，则该系统是边界稳定的，即系统的输出可能会收敛，但也可能不会收敛，具体取决于系统的具体响应。

因此，通过观察系统的零极点分布图，我们可以判断系统的因果性和稳定性，从而更好地理解和分析系统的行为。

相关问题

实验五 离散时间系统的频域分析 （一）教学要求 了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系；加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解；熟悉MATLAB中进行离散系统零极点分析的常用子函数；掌握离散系统幅频响应和相频响应的求解方法。 （二）知识点提示 本章节的主要知识点是频率响应的概念、系统零极点对系统特性的影响；重点是频率响应的求解方法；难点是MATLAB相关子函数的使用。 （三）教学内容 5.1 已知离散时间系统的系统函数，求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因果性、稳定性 5.2 已知离散时间系统的系统函数，求该系统的频率响应 （四）思考题 5.1 因果稳定的离散系统必须满足的充分必要条件是什么？系统函数零极点的位置与系统冲激响应有何关系？对系统的幅度响应有何影响？ 5.2 利用MATLAB如何求解离散系统的幅频响应和相频响应？

5.1 因果稳定的离散系统必须满足的充分必要条件是：系统的极点全部位于单位圆内，即系统的极点模长小于1。系统函数的零极点位置与系统的冲激响应有密切的联系。系统的零点决定了系统的传递特性，而系统的极点则决定了系统的稳定性。具体而言，系统的零点是决定系统频率响应的因素，而系统的极点则是决定系统时域响应和稳定性的因素。对于系统的幅度响应，系统的零点会影响系统在不同频率处的增益大小，而系统的极点则会影响系统的衰减速度。

5.2 利用MATLAB，可以使用freqz函数求解离散系统的幅频响应和相频响应。freqz函数的第一个输入参数为系统函数的分子系数，第二个输入参数为系统函数的分母系数，第三个参数可以指定频率响应的采样点数，第四个参数可以指定频率响应的范围。例如，若要求解系统函数为H(z)的离散系统在0~pi范围内的幅频响应和相频响应，可以使用以下命令：

[b, a] = tfdata(H, 'v');
[w, h] = freqz(b, a, 1024, 'whole');
mag = abs(h);
phase = unwrap(angle(h));

其中，H为系统函数，'v'表示将分子分母系数以行向量的形式输出，1024表示采样点数，'whole'表示在0~pi范围内进行采样。幅频响应存储在mag中，相频响应存储在phase中。

(3) 已知因果离散系统的系统函数为 ( )( ) 2 ( ) 0.4 3 z H z = z z − − 。利用 MATLAB 计算 系统函数的零点、极点，在 Z 平面画出其零点、极点的分布，并分析系统的 稳定性；求出系统的单位序列响应和频率响应，并分别画出其波形。

a. 计算系统函数的零点和极点

系统函数为 H(z) = (z-0.4)/(z^2 - 3z + 2)

可以通过解方程 H(z) = 0 和求解分母为零的方程来计算系统函数的零点和极点。

H(z) = 0 的解为 z = 0.4，因此系统函数有一个零点 z = 0.4。

分母为零的方程为 z^2 - 3z + 2 = 0，解得 z1 = 1，z2 = 2，因此系统函数有两个极点 z1 = 1 和 z2 = 2。

b. 在 Z 平面画出系统函数的零点、极点的分布，并分析系统的稳定性

系统的零点和极点分别位于 z = 0.4，z = 1，z = 2 处，可以在 Z 平面上画出其分布。

% 系统函数
num = [1 -0.4];
den = [1 -3 2];
% 零点和极点
z = roots(num);
p = roots(den);
% 绘图
zplane(z, p);
title('Pole-Zero Plot');

绘制出的图形如下所示：


由图可知，系统的极点都位于单位圆内，因此系统是稳定的。

c. 求出系统的单位序列响应和频率响应，并分别画出其波形

系统的单位序列响应为：

h[k] = [z^k] H(z) = (1/2)^(k-1)u[k-1] - (1/2)^k u[k]

系统的频率响应为：

H(e^(jw)) = (1 - 0.4e^(-jw)) / (1 - 3e^(-jw) + 2e^(-2jw))

可以用 MATLAB 计算和绘图。下面是 MATLAB 代码：

% 系统函数
num = [1 -0.4];
den = [1 -3 2];
% 单位序列响应
h = impz(num, den, 21);
% 频率响应
w = linspace(-pi, pi, 1000);
H = freqz(num, den, w);
% 绘图
subplot(2,1,1); stem(h); title('Unit Impulse Response');
subplot(2,1,2); plot(w, abs(H)); title('Frequency Response');

绘制出的图形如下所示：