证明图像傅立叶变换平移不变性

傅立叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，其基本思想是将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。在图像处理中，同样可以使用傅立叶变换将图像从空间域转换到频域。

平移不变性是指在对信号进行平移操作后，其频域表示不会发生改变。在图像处理中，如果对原图像进行平移操作，其在频域中的表示也应该是不变的。

证明如下：

设 $f(x,y)$ 为原图像，其傅立叶变换为 $F(u,v)$。对原图像进行水平和垂直平移操作，得到平移后的图像为 $f'(x,y)=f(x-a,y-b)$。其傅立叶变换为：

\begin{aligned} F'(u,v)&=\iint_{-\infty}^{\infty} f'(x,y)e^{-2\pi i(ux+vy)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\iint_{-\infty}^{\infty} f(x-a,y-b)e^{-2\pi i(u(x-a)+v(y-b))}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=e^{-2\pi i(ua+vb)}\iint_{-\infty}^{\infty} f(x,y)e^{-2\pi i(ux+vy)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=e^{-2\pi i(ua+vb)}F(u,v) \end{aligned}

其中，第三个等式是由于傅立叶变换的线性性质，第四个等式是由于平移操作不改变图像的频域表示。

因此，可得：

$$ F'(u,v)=e^{-2\pi i(ua+vb)}F(u,v) $$

上式表明，对图像进行平移操作后，其在频域中的表示会乘上一个相位因子 $e^{-2\pi i(ua+vb)}$，但其幅度不会发生改变，因此傅立叶变换具有平移不变性。