图像傅立叶变换平移不变性公式推导

图像傅里叶变换平移不变性公式的推导如下：

假设我们有一个二维离散信号 $f(x,y)$，其傅里叶变换为 $F(u,v)$。如果我们将这个信号向右平移 $a$ 个单位，向下平移 $b$ 个单位，得到一个新的信号 $g(x,y)=f(x-a,y-b)$。

我们可以将 $g(x,y)$ 的傅里叶变换表示为：

$$G(u,v) = \sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x-a,y-b)e^{-2\pi i(u x/N + v y/N)}$$

我们可以将 $f(x-a,y-b)$ 展开为：

$$f(x-a,y-b) = f(x,y)e^{2\pi i(ua/N+vb/N)}$$

将其代入傅里叶变换公式，得到：

$$G(u,v) = e^{-2\pi i(ua/N+vb/N)}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i(u x/N + v y/N)}$$

我们可以发现，$\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i(u x/N + v y/N)}$ 就是 $F(u,v)$，因此：

$$G(u,v) = e^{-2\pi i(ua/N+vb/N)}F(u,v)$$

这个公式告诉我们，将信号 $f(x,y)$ 向右平移 $a$ 个单位，向下平移 $b$ 个单位，其傅里叶变换 $F(u,v)$ 乘以一个相位因子 $e^{-2\pi i(ua/N+vb/N)}$，即：

$$\mathcal{F}\{f(x-a,y-b)\} = e^{-2\pi i(ua/N+vb/N)}\mathcal{F}\{f(x,y)\}$$

因此，图像傅里叶变换具有平移不变性。