出5个常微分方程得判断题，并给出答案

好的，以下是5个常微分方程的判断题及其答案：

1. 设 $y(x)$ 是微分方程 $y''-y=0$ 的解，则 $y(x)$ 是周期函数。

判断：正确。

答案：正确。微分方程 $y''-y=0$ 的通解为 $y(x)=c_1 e^x + c_2 e^{-x}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。由于 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 都是周期函数，因此 $y(x)$ 也是周期函数。

2. 设 $y(x)$ 是微分方程 $y''+y=0$ 的解，则 $y(x)$ 是奇函数。

判断：错误。

答案：错误。微分方程 $y''+y=0$ 的通解为 $y(x)=c_1 \cos x + c_2 \sin x$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。虽然 $\cos x$ 是偶函数，$\sin x$ 是奇函数，但是 $y(x)$ 既不是偶函数也不是奇函数。

3. 设 $y(x)$ 是微分方程 $y''+2y'+y=0$ 的解，则 $y(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的通解。

判断：正确。

答案：正确。微分方程 $y''+2y'+y=0$ 可以写成 $(D+1)^2 y = 0$，其中 $D$ 表示微分算子。这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为 $y(x)=(c_1+c_2 x) e^{-x}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。

4. 设 $y(x)$ 是微分方程 $y''-y'+y=0$ 的解，则 $y(x)$ 是振荡函数。

判断：正确。

答案：正确。微分方程 $y''-y'+y=0$ 的特征方程为 $r^2-r+1=0$，其根为 $\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$。由此可知，其通解为 $y(x)=c_1 e^{x/2} \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} x) + c_2 e^{x/2} \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} x)$。由于 $\cos (\frac{\sqrt{3}}{2} x)$ 和 $\sin (\frac{\sqrt{3}}{2} x)$ 均为振荡函数，因此 $y(x)$ 也是振荡函数。

5. 设 $y(x)$ 是微分方程 $y''+4y'+4y=0$ 的解，则 $y(x)$ 是稳定解。

判断：错误。

答案：错误。微分方程 $y''+4y'+4y=0$ 的特征方程为 $(D+2)^2 y = 0$，其通解为 $y(x)=(c_1+c_2 x) e^{-2x}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。由于 $e^{-2x}$ 是衰减函数，所以 $y(x)$ 是衰减解，而不是稳定解。