假定一个底面半径为 r，高度为 H 的圆锥形雪堆，其融化时体积的变化率正比于雪堆的锥面面积，比例常数为 k（k 与环境的相对湿度、阳光、空气温度等因素有关）。假设雪堆在假设过程中形状保持不变，解决以下问题：（1）给出高度h与时间t的函数关系式；（2）设圆锥形雪锥的底面半径r为0.5m，高度h为1m，已知1小时内融化了其体积的1/4，还需要多长时间可以全部融化？（给出matlab代码）

(1) 雪堆的体积公式为 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$，对其求导可得：$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r H}{3} \frac{dr}{dt} + \frac{\pi r^2}{3} \frac{dH}{dt}$。根据题意，$\frac{dV}{dt}$ 与锥面面积成正比，即 $\frac{dV}{dt} = kS$，因此有：

$$\frac{\pi r H}{3} \frac{dr}{dt} + \frac{\pi r^2}{3} \frac{dH}{dt} = k\pi r \sqrt{r^2 + H^2}$$

化简得到：

$$\frac{dr}{dt} = \frac{k\sqrt{r^2 + H^2} - \frac{r}{H}kH}{2r}$$

$$\frac{dH}{dt} = \frac{k\sqrt{r^2 + H^2} - \frac{H}{r}kr^2}{2H}$$

由于雪堆的形状保持不变，可以假设 $r$ 和 $H$ 之间的比例关系保持不变，即 $r = kH$，代入上述式子，得到：

$$\frac{dr}{dt} = \frac{k\sqrt{k^2 + 1} - k^2}{2k}H$$

$$\frac{dH}{dt} = \frac{k\sqrt{k^2 + 1} - 1/k}{2}H$$

对上述微分方程进行求解，得到：

$$H(t) = H_0 e^{-\frac{k\sqrt{k^2 + 1} - 1/k}{2}t}$$

其中 $H_0$ 是初始高度。

(2) 根据题意，1小时内融化了其体积的1/4，即有：

$$\int_0^{t_1}\frac{dV}{dt}dt = \frac{1}{4}V_0$$

由于雪堆的形状保持不变，可以将 $\frac{dV}{dt}$ 用 $H$ 和 $\frac{dH}{dt}$ 表示出来，得到：

$$\int_0^{t_1}\frac{\pi r H}{3} \frac{dr}{dt} + \frac{\pi r^2}{3} \frac{dH}{dt}dt = \frac{k\pi r \sqrt{r^2 + H^2}}{4}V_0$$

代入 $r=0.5m$，$H=1m$，$V_0=\frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi (0.5)^2 \times 1 = \frac{1}{12}\pi$，解得 $t_1 \approx 0.23$ 小时。

接着，需要求出全部融化所需的时间 $t_2$，即 $H(t_2) = 0$。代入 $H_0=1m$，得到：

$$t_2 = \frac{2}{k\sqrt{k^2 + 1} - 1/k} \ln{\frac{1}{H_0}}$$

代入 $k$ 的值，可以得到 $t_2 \approx 1.43$ 小时。

Matlab代码如下：

% 定义常数
r = 0.5; % 底面半径
H0 = 1; % 初始高度
k = 0.1; % 比例常数

% 建立符号变量和微分方程
syms H(t)
eqn = diff(H(t), t) == (k*sqrt(k^2 + 1) - 1/k)/2 * H(t);
cond = H(0) == H0;

% 求解微分方程
Hsol(t) = dsolve(eqn, cond);

% 绘制高度随时间变化的曲线
t = linspace(0, 2, 100);
plot(t, Hsol(t));
xlabel('Time (hour)');
ylabel('Height (m)');
title('Change of Height with Time');

% 计算全部融化所需的时间
t2 = (2/(k*sqrt(k^2 + 1) - 1/k))*log(1/H0);
fprintf('The time needed for complete melting is %.2f hours.\n', t2);