欧式距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离分别定义为什么？有何区别？使用场景有何不同?

这是一个关于距离度量的问题，欧式距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离是常见的三种距离度量方式，它们分别定义如下：

1. 欧式距离：两点之间的欧式距离是它们之间的直线距离，即勾股定理。在二维平面上，欧式距离公式为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。在n维空间中，欧式距离公式为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + … + (zn-z1)^2)。

2. 曼哈顿距离：两点之间的曼哈顿距离是它们在二维平面上的城市街区距离，即横坐标之差的绝对值加上纵坐标之差的绝对值。在n维空间中，曼哈顿距离公式为：d = |x2-x1| + |y2-y1| + … + |zn-z1|。

3. 切比雪夫距离：两点之间的切比雪夫距离是它们在n维空间中各个坐标数值差的最大值，即各维度距离的最大值。在二维平面上，切比雪夫距离公式为：d = max(|x2-x1|, |y2-y1|)。

这三种距离度量方式的区别在于它们的计算方法不同。欧式距离是计算两点间的直线距离，适用于连续数值型变量；曼哈顿距离是计算两点间的城市街区距离，适用于分类变量或者有序离散变量；切比雪夫距离是计算两点间各个坐标数值差的最大值，适用于具有明显方向特征的数据。

这三种距离度量方式的使用场景也不同。欧式距离适用于连续型数据，如数值型数据、图像数据等。曼哈顿距离适用于分类型数据，如文本数据、DNA序列等。切比雪夫距离适用于具有方向性的数据，如棋盘距离、地图路线等。

在机器学习中，距离度量方式是一个重要的概念，常用于聚类、分类、回归等任务中。不同的距离度量方式适用于不同的数据类型和任务场景，选择恰当的距离度量方式可以提高模型的性能。