matlab牛顿迭代法实际应用

牛顿迭代法是一种求解非线性方程的常用数值方法，可以用于解决各种实际问题。以下是几个利用Matlab实现牛顿迭代法解决实际问题的例子：

1. 解决方程组

假设有如下方程组：

x^2 + y^2 = 25
x^2 - y^2 = 7

可以将其转化为非线性方程组的形式：

f1(x,y) = x^2 + y^2 - 25 = 0
f2(x,y) = x^2 - y^2 - 7 = 0

然后使用牛顿迭代法求解，具体的Matlab代码如下：

syms x y;
f1 = x^2 + y^2 - 25;
f2 = x^2 - y^2 - 7;
J = jacobian([f1,f2],[x,y]);
invJ = inv(J);
x0 = [1;1];
tol = 1e-6;
maxit = 100;
for k = 1:maxit
f = [subs(f1,[x,y],x0'), subs(f2,[x,y],x0')];
delta = -invJ*double(f');
x1 = x0 + delta;
if norm(x1-x0) < tol
break;
end
x0 = x1;
end
x1, k

其中，syms x y;定义了x和y为符号变量，f1和f2是方程组的表达式，J是雅可比矩阵，invJ是雅可比矩阵的逆矩阵，x0是初始值，tol是迭代的精度要求，maxit是最大迭代次数，k是迭代次数计数器。

2. 拟合曲线

假设有一组数据点(x,y)，要求拟合出一条曲线y=f(x)，可以将其转化为非线性方程组的形式：

f(x) - y = 0

其中，f(x)是拟合曲线的表达式。然后使用牛顿迭代法求解，具体的Matlab代码如下：

x = [1,2,3,4,5,6,7];
y = [1.2,1.5,2.1,2.5,2.8,3.6,4.2];
syms a b c;
f = a*x.^2 + b*x + c;
J = jacobian(f,[a,b,c]);
invJ = inv(J);
p0 = [0,0,0];
tol = 1e-6;
maxit = 100;
for k = 1:maxit
fval = double(subs(f,[a,b,c],p0') - y');
delta = -invJ*double(fval);
p1 = p0 + delta';
if norm(p1-p0) < tol
break;
end
p0 = p1;
end
p1, k

其中，x和y是数据点的坐标，syms a b c;定义了a、b和c为符号变量，f是拟合曲线的表达式，J是雅可比矩阵，invJ是雅可比矩阵的逆矩阵，p0是初始值，tol是迭代的精度要求，maxit是最大迭代次数，k是迭代次数计数器。

3. 求解微分方程

假设要求解如下微分方程：

y'' + y' + y = sin(x), y(0) = 0, y'(0) = 0

可以将其转化为非线性方程组的形式：

f1(y,y',x) = y' = z
f2(y,z,x) = z' = sin(x) - y - z

然后使用牛顿迭代法求解，具体的Matlab代码如下：

syms y z x;
f1 = z;
f2 = sin(x) - y - z;
J = jacobian([f1,f2],[y,z]);
invJ = inv(J);
y0 = 0;
z0 = 0;
tol = 1e-6;
maxit = 100;
for k = 1:maxit
f = [subs(f1,[y,z,x],[y0,z0,x]), subs(f2,[y,z,x],[y0,z0,x])];
delta = -invJ*double(f');
y1 = y0 + delta(1);
z1 = z0 + delta(2);
if norm([y1,z1]-[y0,z0]) < tol
break;
end
y0 = y1;
z0 = z1;
end
y1, k

其中，syms y z x;定义了y、z和x为符号变量，f1和f2是微分方程的表达式，J是雅可比矩阵，invJ是雅可比矩阵的逆矩阵，y0和z0是初始值，tol是迭代的精度要求，maxit是最大迭代次数，k是迭代次数计数器。