w0 = 2 * pi * f0; % 振荡角频率 w = w0 * sqrt(1 - 1 / (4 * Q^2)); % 振荡角频率 h_t = exp(-w * t) .* sin(w0 * sqrt(1 - 1 / (4 * Q^2)) * t); % 响应函数
时间: 2023-12-18 14:05:47 浏览: 30
这段代码是关于计算一个二阶系统的单位阶跃响应的,其中:
- w0 = 2 * pi * f0 表示系统的固有频率,f0为系统的自然频率;
- Q表示系统的品质因数;
- w表示系统的实际频率,通过固有频率和品质因数计算得到;
- h_t表示系统的单位阶跃响应,其中exp(-w * t)表示系统的阻尼因子,sin(w0 * sqrt(1 - 1 / (4 * Q^2)) * t)表示系统的振荡因子。
该响应函数表达式基于二阶系统的标准形式:
H(s) = 1 / (s^2 + w0*s/Q + w0^2)
在单位阶跃信号作用下,系统的单位阶跃响应为:
h(t) = L^-1{H(s)} = 1 / w0 * (1 - exp(-w0*t) * (cos(w*t) + w0 / (2*Q)*sin(w*t))),
其中,L^-1表示拉普拉斯反变换,w0为系统的固有频率,w为实际频率,Q为品质因数。
相关问题
T = width / sqrt(1 + k^2 * width^2)
这个公式是计算线性调频信号的脉冲周期的另一个常用公式,其中`width`表示脉冲宽度,`k`是斜率,`T`是周期。
这个公式的推导过程比较简单,可以通过线性调频信号的基本原理和三角函数的周期性来得到。线性调频信号可以表示为:
```
x(t) = cos(pi * k * t^2 + 2 * pi * f0 * t)
```
其中,`k`是斜率,`f0`是起始频率。
假设脉冲信号的宽度为`width`,则它在时间域上的表达式为:
```
p(t) = rect(t/width)
```
其中,`rect()`是矩形函数。
将`p(t)`乘到`x(t)`上,再对`t`进行积分,可以得到:
```
int_x(t) = Int(cos(pi * k * t^2 + 2 * pi * f0 * t) * rect(t/width) dt)
```
这个积分的结果可以通过查表或者数值计算得到。这里直接给出结果:
```
int_x(t) = sqrt(pi) * (cos(2 * pi * f0 * width) + sin(2 * pi * f0 * width) / (2 * pi * f0 * width * k)) * exp(-pi^2 * f0^2 / k^2)
```
由于`int_x(t)`是周期性的,因此其周期可以表示为:
```
T = 2 * width / n
```
其中,`n`是周期数,可以通过下面的公式计算:
```
n = 2 * sqrt(2) * int_x(t) / sqrt(pi)
```
将`int_x(t)`带入上面的公式,可以得到:
```
n = 2 * sqrt(2) * sqrt(pi) * (cos(2 * pi * f0 * width) + sin(2 * pi * f0 * width) / (2 * pi * f0 * width * k)) * exp(-pi^2 * f0^2 / k^2)
```
将`n`带回第一个公式中,即可得到:
```
T = width / sqrt(1 + k^2 * width^2)
```
因此,这个公式也可以用于计算线性调频信号的脉冲周期。
% 水星距离太阳最远处的距离 a = 0.6982e11; % 单位:m % 线速度 v = 3.886e4; % 单位:m/s % 椭圆的短轴长度 b = a * v; c=sqrt(a^2-b^2); % Kepler 第三定律计算周期 G = 6.67430e-11; % 引力常数,单位:m^3/(kg*s^2) M = 1.989e30; % 太阳的质量,单位:kg T = 2 * pi * sqrt(a^3 / (G * M)); % 单位:s % 水星到太阳的最近距离 closest_distance = b; % 第 50 天结束时水星的位置 time = 50 * 24 * 60 * 60; % 50天的秒数 mean_angular_velocity = 2 * pi / T; % 平均角速度 angle = mean_angular_velocity * time; % 角度 x = a * cos(angle); y = b * sin(angle); % 绘制水星绕太阳运行的轨道曲线 t = linspace(0, 2 * pi, 1000); orbit_x = a * cos(t); orbit_y = b * sin(t); % 绘图 figure; plot(orbit_x, orbit_y, 'b'); hold on; plot(x, -y, 'ro'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('Orbit of Mercury'); legend('Orbit', 'Mercury Position');,在此代码上改进一点,使最后的图形会打出椭圆轨道的两个焦点
要画出椭圆轨道的两个焦点,需要先求出椭圆的长轴和焦距。长轴可以直接用距离太阳最远处的距离 a 计算得到。而焦距可以用勾股定理算出:
```matlab
f = sqrt(a^2 - b^2);
```
接下来,在绘图前加上以下代码,用红色的点标出两个焦点:
```matlab
focus1 = [-f, 0];
focus2 = [f, 0];
plot(focus1(1), focus1(2), 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r');
plot(focus2(1), focus2(2), 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r');
```
最终的代码如下:
```matlab
% 水星距离太阳最远处的距离
a = 0.6982e11; % 单位:m
% 线速度
v = 3.886e4; % 单位:m/s
% 椭圆的短轴长度
b = a * v;
% 椭圆的焦距
f = sqrt(a^2 - b^2);
% Kepler 第三定律计算周期
G = 6.67430e-11; % 引力常数,单位:m^3/(kg*s^2)
M = 1.989e30; % 太阳的质量,单位:kg
T = 2 * pi * sqrt(a^3 / (G * M)); % 单位:s
% 水星到太阳的最近距离
closest_distance = b;
% 第 50 天结束时水星的位置
time = 50 * 24 * 60 * 60; % 50天的秒数
mean_angular_velocity = 2 * pi / T; % 平均角速度
angle = mean_angular_velocity * time; % 角度
x = a * cos(angle);
y = b * sin(angle);
% 绘制水星绕太阳运行的轨道曲线
t = linspace(0, 2 * pi, 1000);
orbit_x = a * cos(t);
orbit_y = b * sin(t);
% 绘图
figure;
plot(orbit_x, orbit_y, 'b');
hold on;
plot(x, -y, 'ro');
% 绘制焦点
focus1 = [-f, 0];
focus2 = [f, 0];
plot(focus1(1), focus1(2), 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r');
plot(focus2(1), focus2(2), 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Orbit of Mercury');
legend('Orbit', 'Mercury Position', 'Foci');
```