求AOE网（邻接矩阵存储）的关键路径算法

AOE网是一种用于表示工程项目的有向无环图(DAG)。关键路径是指在一个AOE网中，从源点到汇点的所有路径中，耗时最长的那条路径，也就是完成整个工程项目所需的最短时间。下面是基于邻接矩阵存储的AOE网关键路径算法：

1. 构建邻接矩阵，即将图中所有边的权值存储在矩阵中，若某个顶点之间无边相连，则该位置的权值为0。

2. 对矩阵进行拓扑排序，以确定每个节点的最早开始时间和最晚开始时间。

3. 从源点开始，对每个节点进行如下操作：

a. 计算该节点的最早开始时间：该节点的最早开始时间为其所有前驱节点的最晚开始时间加上该节点到其前驱节点的边的权值。即：$earliest(v_i) = max(earliest(v_j) + edge(v_j, v_i))$，其中$v_j$为$v_i$的所有前驱节点。

b. 计算该节点的最晚开始时间：该节点的最晚开始时间为其所有后继节点的最早开始时间减去该节点到其后继节点的边的权值。即：$latest(v_i) = min(latest(v_j) - edge(v_i, v_j))$，其中$v_j$为$v_i$的所有后继节点。

c. 计算该节点的总时差：该节点的总时差为其最晚开始时间减去最早开始时间。即：$slack(v_i) = latest(v_i) - earliest(v_i)$。

4. 找到所有总时差为0的节点，它们组成的路径即为AOE网的关键路径。

关键路径算法的时间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$为节点数。

相关问题

用c语言求aoe网的关键路径

AOE网（Activity On Edge）也叫 PERT 图，是一种用于表示项目进度计划的网络图。在 AOE 网中，每个事件作为一个节点，每个活动作为一条有向边。每个事件和活动都有一个时间长度。关键路径指的是连接起点和终点的路径，这条路径上的活动所需要的时间总和最长，因此决定了整个项目的最短完成时间。

要求 AOE 网的关键路径，可以使用 C 语言实现关键路径算法。具体的实现步骤如下：

1. 定义一个结构体来表示 AOE 网中的节点，包括节点编号、活动编号、活动持续时间、前继节点个数、后继节点个数、前继节点和后继节点数组等信息。

2. 构建 AOE 网，读入每个节点的信息，建立节点之间的关系。

3. 计算每个节点的最早开始时间 EST 和最迟开始时间 LST，以及每个活动的最早开始时间 EFT 和最迟开始时间 LFT。通过这些时间可以确定关键路径上的活动。

4. 输出关键路径上的活动，并计算整个项目的最短完成时间。

下面是 C 语言实现关键路径算法的伪代码：

struct node {
    int id;             // 节点编号
    int act_id;         // 活动编号
    int act_time;       // 活动持续时间
    int pred_cnt;       // 前继节点个数
    int succ_cnt;       // 后继节点个数
    int *preds;         // 前继节点数组
    int *succs;         // 后继节点数组
    int est, lst;       // 最早开始时间、最迟开始时间
    int eft, lft;       // 最早结束时间、最迟结束时间
};

int main() {
    // 构建 AOE 网
    struct node nodes[N];
    int n = read_input(nodes);
    build_network(nodes, n);

    // 计算 EST 和 LST
    calc_est_lst(nodes, n);

    // 计算 EFT 和 LFT
    calc_eft_lft(nodes, n);

    // 输出关键路径上的活动
    print_critical_activities(nodes, n);

    // 计算项目最短完成时间
    int project_time = calc_project_time(nodes, n);
    printf("Project time: %d\n", project_time);

    return 0;
}

其中，`read_input()` 函数用于读入 AOE 网中的节点信息，`build_network()` 函数用于构建节点之间的关系，`calc_est_lst()` 函数用于计算每个节点的最早开始时间 EST 和最迟开始时间 LST，`calc_eft_lft()` 函数用于计算每个活动的最早开始时间 EFT 和最迟开始时间 LFT，`print_critical_activities()` 函数用于输出关键路径上的活动，`calc_project_time()` 函数用于计算整个项目的最短完成时间。

设计算法求解AOE网的关键路径

求解 AOE 网的关键路径可以使用拓扑排序和动态规划的方法。

步骤如下：

1. 对 AOE 网进行拓扑排序，得到各个节点的拓扑序列。

2. 对每个节点进行动态规划，计算出其最早开始时间和最晚开始时间。

3. 计算每条边的活动时间，即最晚开始时间减去最早开始时间。

4. 找出所有活动时间为 0 的边，这些边所连接的两个节点即为关键路径上的节点。

下面是详细步骤：

1. 对 AOE 网进行拓扑排序，得到各个节点的拓扑序列。

从起点开始，按照拓扑序列依次访问每个节点，得到其最早开始时间和最晚开始时间。

2. 对每个节点进行动态规划，计算出其最早开始时间和最晚开始时间。

最早开始时间（ES）：以该节点为终点的所有入边的最大活动时间（即最早开始时间加上持续时间）的最大值。

最晚开始时间（LS）：以该节点为起点的所有出边的终点节点的最早开始时间减去该边的持续时间的最小值。

起点的最早开始时间为 0，终点的最晚开始时间为其最早开始时间。

3. 计算每条边的活动时间，即最晚开始时间减去最早开始时间。

4. 找出所有活动时间为 0 的边，这些边所连接的两个节点即为关键路径上的节点。

关键路径上的节点即为整个 AOE 网的关键路径。

以上就是求解 AOE 网的关键路径的算法。