%% Problem % % min 1/2 || x - v||^2 % s.t. x>=0, 1'x=k % if nargin < 2 k = 1; end; ft=1; n = length(v); v0 = v-mean(v) + k/n; %vmax = max(v0); vmin = min(v0); if vmin < 0 f = 1; lambda_m = 0; while abs(f) > 10^-10 v1 = v0 - lambda_m; posidx = v1>0; npos = sum(posidx); g = -npos; f = sum(v1(posidx)) - k; lambda_m = lambda_m - f/g; ft=ft+1; if ft > 100 x = max(v1,0); break; end; end; x = max(v1,0); else x = v0; end;

这是一个最小化二次范数的问题，其中有两个约束条件：$x \geq 0$ 和 $1^T x = k$。如果没有传入 $k$ 的值，则默认为 $1$。算法会先对输入向量 $v$ 进行平移，使其平均值为 $k/n$，其中 $n$ 为 $v$ 的长度。然后算法会进行迭代，直到找到满足约束条件的最小值。具体地，算法会先将 $v$ 向下平移 $\lambda_m$，其中 $\lambda_m$ 是一个逐步更新的步长，然后将负值置为 $0$，然后重新计算函数值和梯度。如果函数值的绝对值小于 $10^{-10}$，则算法终止。如果迭代次数超过 $100$ 次，则直接将 $v$ 的非负部分作为最终解。

相关问题

详细解释这段代码：function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k) % %% Problem % % min 1/2 || x - v||^2 % s.t. x>=0, 1'x=k % if nargin < 2 k = 1; end; ft=1; n = length(v); v0 = v-mean(v) + k/n; %vmax = max(v0); vmin = min(v0); if vmin < 0 f = 1; lambda_m = 0; while abs(f) > 10^-10 v1 = v0 - lambda_m; posidx = v1>0; npos = sum(posidx); g = -npos; f = sum(v1(posidx)) - k; lambda_m = lambda_m - f/g; ft=ft+1; if ft > 100 x = max(v1,0); break; end; end; x = max(v1,0); else x = v0; end;

这段代码实现了求解以下优化问题的算法：

$$\begin{aligned} &\min_{x\in \mathbb{R}^n} \frac{1}{2}\|x-v\|^2 \\ &\text{s.t. } x\geq 0,\quad \mathbf{1}^\top x=k \end{aligned}$$

其中，$v\in \mathbb{R}^n$ 为给定向量，$k\in \mathbb{R}$ 为常数，$\mathbf{1}\in \mathbb{R}^n$ 为全1向量。

具体地，该算法实现了欧几里得投影法来求解上述问题。解析式为：

$$x = \mathcal{P}(v) = [\max(v_1-\theta,0),\dots,\max(v_n-\theta,0)]$$

其中，$\theta = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n v_i-k)_+$，$(\cdot)_+=\max\{\cdot,0\}$。

该算法的具体实现如下：

function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k)
% 求解问题：
% min  1/2 || x - v||^2
% s.t. x>=0, 1'x=k

if nargin < 2
    k = 1; 
end
ft=1; n = length(v);

v0 = v-mean(v) + k/n; % 中心化

vmin = min(v0); % 寻找最小值
if vmin < 0
    f = 1; lambda_m = 0;
    while abs(f) > 10^-10
        v1 = v0 - lambda_m;
        posidx = v1>0;
        npos = sum(posidx);
        g = -npos;
        f = sum(v1(posidx)) - k;
        lambda_m = lambda_m - f/g;
        ft=ft+1;
        if ft > 100
            x = max(v1,0);
            break;
        end
    end
    x = max(v1,0);
else
    x = v0;
end

具体来说，该函数的输入参数为一个行向量 $v$ 和一个标量 $k$，输出为一个行向量 $x$ 和一个迭代次数 $ft$。其中，$x$ 为上述优化问题的最优解，$ft$ 表示算法需要迭代的次数。

算法的具体实现步骤如下：

1. 对 $v$ 进行中心化，即令 $v_0= v-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n v_i+\frac{k}{n}$；
2. 寻找 $v_0$ 的最小值 $v_{\min}$；
3. 如果 $v_{\min}\geq 0$，则直接返回 $v_0$；
4. 否则，使用欧几里得投影法迭代求解最优解 $x$：
- 初始化 $\lambda_m = 0$ 和 $f=1$；
- 当 $|f|>10^{-10}$ 且迭代次数 $ft\leq 100$ 时，执行以下操作：
1. 计算 $v_1 = v_0-\lambda_m$；
2. 找到 $v_1$ 中所有大于0的元素，得到下标集合 $posidx$ 和个数 $npos$；
3. 计算 $f = \sum_{i=1}^n (v_{1,i})_{+} - k$ 和 $g = -npos$；
4. 令 $\lambda_m = \lambda_m - f/g$；
5. 执行迭代次数加1；
- 如果迭代次数超过100次，直接返回 $x=\max\{v_1,0\}$；
- 否则，返回 $x=\max\{v_1,0\}$。

其中，$(\cdot)_{+}=\max\{\cdot,0\}$。

minx||x||1 s. t. Ax = b, lasso问题转化为线性规划

Lasso问题是一种线性回归问题，它的目标是通过最小化模型系数的L1范数来实现特征选择。Lasso问题可以转化为线性规划问题，具体方法如下：

将Lasso问题转化为线性规划问题的标准形式：
min ||x||1
s.t. Ax = b

引入额外的变量t，将L1范数约束转化为线性约束：
min t
s.t. -t <= xi <= t
Ax = b

将目标函数和约束条件转化为矩阵形式：
min cTx
s.t. Dx <= d
Ax = b

其中，c是一个n维向量，D是一个2n x n的矩阵，d是一个2n维向量，具体形式如下：
c = [0, 0, ..., 0, 1, 1, ..., 1]
D = [-I, I; -I, -I; I, -I]
d = [0, 0, ..., 0, b, -b]

这样，Lasso问题就被转化为了一个线性规划问题，可以使用线性规划算法求解。

下面是Python代码示例，使用cvxpy库求解Lasso问题的线性规划形式：

import cvxpy as cp
import numpy as np

# 构造数据
n = 10
m = 5
A = np.random.randn(m, n)
b = np.random.randn(m)

# 定义变量和目标函数
x = cp.Variable(n)
t = cp.Variable()
objective = cp.Minimize(cp.sum(t))
constraints = [A @ x == b, -t <= x, x <= t]

# 转化为线性规划问题并求解
prob = cp.Problem(objective, constraints)
result = prob.solve()

# 输出结果
print("最小化L1范数的系数向量x为：", x.value)
print("最小化L1范数为：", np.sum(np.abs(x.value)))