例:已知LSI系统的单位抽样响应: h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1). 求系统输入x(n)=a^u(n)的响应。
时间: 2024-05-28 13:10:47 浏览: 19
LSI系统的单位抽样响应为$h(n) = bn u(n) - ab^{n-1} u(n-1)$,其中$u(n)$为单位阶跃函数。
当输入为$x(n)=a^u(n)$时,系统的响应为:
\begin{aligned} y(n) &= h(n) \ast x(n) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) x(n-k) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[ bn u(k) - ab^{k-1} u(k-1) \right] a^{u(n-k)} \\ &= \sum_{k=0}^{n} bn a^{n-k} - \sum_{k=0}^{n-1} ab^{n-k-1} \\ &= bn \sum_{k=0}^{n} a^{n-k} - ab^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-k-1} \\ &= bn \sum_{k=0}^{n} a^{n-k} - ab^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} b^{k} \\ &= bn \sum_{k=0}^{n} a^{n-k} - ab^{n-1} \frac{1-b^{n}}{1-b} \\ &= bn \sum_{k=0}^{n} a^{n-k} - ab^{n-1} \frac{b^{n}-1}{b-1} \\ &= \frac{bn}{a} \left(1-a^{n+1}\right) - \frac{ab^{n}}{a-b} \left(1-b^{n}\right) \\ &= \frac{bn}{a} - \frac{bn-a^{n+1}}{a(a-b)} - \frac{ab^{n}}{a-b} + \frac{b^{n}}{a-b} \end{aligned}
因此,当输入为$x(n)=a^u(n)$时,系统的响应为$y(n)=\frac{bn}{a} - \frac{bn-a^{n+1}}{a(a-b)} - \frac{ab^{n}}{a-b} + \frac{b^{n}}{a-b}$。