1. 整数划分问题:将正整数n表示成一系列正整数之和: ,其中 ,k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。请提供一个算法设计思路,求正整数n的不同划分个数或方案。
时间: 2023-05-14 20:06:51 浏览: 235
可以使用动态规划来解决整数划分问题。具体来说,设dp[i][j]表示将i划分成不超过j的正整数之和的方案数,则有以下状态转移方程:
dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1]
其中,第一项表示至少有一个数等于j,第二项表示所有数都不超过j-1的情况。初始状态为dp[0][j]=1和dp[i][1]=1(i>=1)。
最终的答案即为dp[n][n]。时间复杂度为O(n^2)。
代码实现如下:
int dp[MAXN][MAXN];
int integerPartition(int n) {
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][1] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 2; j <= i; j++) {
dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[n][n];
}
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假设我们有一个函数 `countParts(n, k)`,它接收两个参数:目标总和 `n` 和已分配的部分个数 `k`。这个函数的目标是计算从 `1` 到 `n` 中选择 `k` 个非降序数字的不同组合。
基本情况:
- 如果 `n == 0`,并且 `k == 0`,这意味着找到了一种空的划分方案,所以返回 `1`。
- 如果 `n < 0` 或 `k = 0`,则没有合法的划分,返回 `0`。
递归情况:
- 对于 `n > 0`,考虑当前是否需要增加一个新的最大部分 `k`。如果添加 `k`,那么剩余的和为 `n - k`,并减小部分个数到 `k - 1`。因此,这部分的解就是 `countParts(n - k, k - 1)`。
- 如果不需要增加新的最大部分,则剩下的部分个数不变,但是每个现有的部分都可以选择是否添加到划分中,所以这部分的解是 `countParts(n, k)` 乘以当前最大的 `k` 项的数目,即 `countParts(n, k) * k`。
递归公式可以写为:
```python
countParts(n, k) = countParts(n - k, k - 1) + (k * countParts(n, k))
```
最后,为了得到总的划分数,你需要对所有可能的 `k` 从 `1` 到 `n` 遍历,并将结果相加:
```python
def countDistinctPartitions(n):
return sum(countParts(n, i) for i in range(1, n + 1))
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```python
def count_partitions(n, current=0):
# 如果当前和等于目标值n,返回1,表示找到了一个有效划分
if current == n:
return 1
# 对于小于n的所有数,尝试添加到当前和中,并统计所有可能的结果
else:
count = 0
for i in range(1, n + 1): # 遍历从1到n,包括n
# 递归地计算剩余部分的划分次数,将i加到current上
count += count_partitions(n - i, current + i)
return count
# 调用函数并传入给定的正整数n
n = int(input("请输入一个正整数n: "))
partition_count = count_partitions(n)
print(f"正整数{n}的不同划分共有{partition_count}种。")
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