三个平均相对误差函数之和是凸函数吗

我们首先需要定义三个平均相对误差函数。设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个实值函数，它们在 $x \in D$ 上都有定义，则它们的平均相对误差函数 $h(x)$ 定义为：

$$
h(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{|f(x)-g(x)|}{|f(x)|+|g(x)|} + \frac{|g(x)-f(x)|}{|g(x)|+|f(x)|} \right)
$$

现在假设我们有三个实值函数 $f_1(x), f_2(x)$ 和 $f_3(x)$，它们在 $x \in D$ 上都有定义。我们定义它们的平均相对误差函数之和为：

$$
H(x) = h_1(x) + h_2(x) + h_3(x)
$$

我们需要证明 $H(x)$ 是凸函数。

对于函数 $h(x)$，我们可以先证明它是凸函数。对于 $x_1, x_2 \in D$ 和 $\lambda \in [0,1]$，我们有：

$$
\begin{aligned}
h(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{|f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)-g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|}{|f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|+|g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|} \right. \\
&\quad\quad+ \left. \frac{|g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)-f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|}{|g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|+|f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|} \right) \\
&\leq \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\lambda |f(x_1)-g(x_1)| + (1-\lambda) |f(x_2)-g(x_2)|}{\lambda (|f(x_1)|+|g(x_1)|) + (1-\lambda)(|f(x_2)|+|g(x_2)|)} \right. \\
&\quad\quad+ \left. \frac{\lambda |g(x_1)-f(x_1)| + (1-\lambda) |g(x_2)-f(x_2)|}{\lambda (|g(x_1)|+|f(x_1)|) + (1-\lambda)(|g(x_2)|+|f(x_2)|)} \right) \\
&\leq \frac{\lambda}{2} \cdot \left( \frac{|f(x_1)-g(x_1)|}{|f(x_1)|+|g(x_1)|} + \frac{|g(x_1)-f(x_1)|}{|g(x_1)|+|f(x_1)|} \right) \\
&\quad\quad+ \frac{1-\lambda}{2} \cdot \left( \frac{|f(x_2)-g(x_2)|}{|f(x_2)|+|g(x_2)|} + \frac{|g(x_2)-f(x_2)|}{|g(x_2)|+|f(x_2)|} \right) \\
&= \lambda h(x_1) + (1-\lambda) h(x_2)
\end{aligned}
$$

因此，$h(x)$ 是凸函数。

接下来我们考虑 $H(x)$。对于 $x_1, x_2 \in D$ 和 $\lambda \in [0,1]$，我们有：

$$
\begin{aligned}
H(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) &= h_1(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) + h_2(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) + h_3(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \\
&\leq \lambda h_1(x_1) + (1-\lambda)h_1(x_2) + \lambda h_2(x_1) + (1-\lambda)h_2(x_2) + \lambda h_3(x_1) + (1-\lambda)h_3(x_2) \\
&= \lambda H(x_1) + (1-\lambda) H(x_2)
\end{aligned}
$$

因此，$H(x)$ 是凸函数。