强凸函数取min还是强凸函数吗
时间: 2023-09-19 13:03:22 浏览: 69
强凸函数取min后的新函数仍然是强凸函数。
强凸函数的定义是:对于定义域上的任意两个点x, y和[0, 1]之间的任意实数a,都有f(ax + (1-a)y) ≤ af(x) + (1-a)f(y)。
假设函数f是强凸函数,令g(x) = min(f(x))。我们需要证明 g(x) 也是强凸函数。
对于定义域上的任意两个点x, y和[0, 1]之间的任意实数a,我们需要证明 g(ax + (1-a)y) ≤ ag(x) + (1-a)g(y)。
由于g(x) = min(f(x)),则函数f(x)在区间[x, y]上的最小值为g(x)。又根据强凸函数的性质,有f(ax + (1-a)y) ≤ af(x) + (1-a)f(y)。由于g(x)是f(x)在[x, y]上的最小值,所以有g(x) ≤ f(ax + (1-a)y)。
同时,对于任意的实数a,有f(ax + (1-a)y) ≤ af(x) + (1-a)f(y) ≤ ag(x) + (1-a)g(y)。所以,g(ax + (1-a)y) ≤ ag(x) + (1-a)g(y)。
因此,我们可以得出结论:对于一个强凸函数,当我们取min后得到的新函数仍然是强凸函数。
相关问题
对称矩阵的奇异值函数是凸函数吗,一般矩阵的奇异值函数是凸函数吗,为什么?
对称矩阵的奇异值函数是凸函数,一般矩阵的奇异值函数不一定是凸函数。
首先,对称矩阵的奇异值函数是凸函数的证明如下:
设 $f(X)$ 表示对称矩阵 $X$ 的奇异值之和,即 $f(X) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(X)$,其中 $\sigma_i(X)$ 表示 $X$ 的第 $i$ 大奇异值。显然,$f(X)$ 是关于 $X$ 的矩阵范数函数,即 $f(X) = \|X\|_*$,其中 $\|\cdot\|_*$ 表示矩阵的核范数。由于核范数是凸函数,因此 $f(X)$ 是凸函数。
对于一般矩阵的奇异值函数,其是否是凸函数取决于具体的函数形式。例如,$f(X) = \sigma_1(X)$,即矩阵 $X$ 的最大奇异值,是凸函数,因为它是关于 $X$ 的谱范数函数,而谱范数是凸函数。但是,$f(X) = \sigma_n(X)$,即矩阵 $X$ 的最小奇异值,不是凸函数,因为它不满足凸组合的定义。具体来说,设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个矩阵,$\sigma_n(X_1)>\sigma_n(X_2)$,则对于任意 $t \in [0,1]$,有
$$
\begin{aligned}
\sigma_n(tX_1+(1-t)X_2) &= \min_{\|u\|=1} (tX_1+(1-t)X_2)^\top uu^\top \\
&\leq t\min_{\|u\|=1} X_1^\top uu^\top + (1-t)\min_{\|u\|=1} X_2^\top uu^\top \\
&= t\sigma_n(X_1) + (1-t)\sigma_n(X_2).
\end{aligned}
$$
因此,$\sigma_n(X)$ 不是凸函数。同理,对于一般的奇异值函数 $f(X) = \sum_{i=1}^n g(\sigma_i(X))$,它是否是凸函数也取决于函数 $g$ 的具体形式。
用rstudio写出凸二次函数精确搜索;
以下是使用RStudio编写凸二次函数精确搜索的代码:
```{r}
# 定义凸二次函数
f <- function(x) {
return(2*x^2 - 4*x + 5)
}
# 定义搜索范围和步长
x <- seq(-10, 10, by = 0.01)
# 找到函数的最小值
min_x <- x[which.min(f(x))]
# 输出结果
cat("The minimum value of the function is", f(min_x), "at x =", min_x)
```
在这个例子中,我们定义了一个凸二次函数,并使用`seq`函数定义了搜索范围和步长。我们然后使用`which.min`函数找到函数的最小值,并使用`cat`函数输出结果。
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