一个siso系统,使用其传递函数进行虚拟输出实现,写成状态空间形式,其是否一定为能控规范型,如果不是,请举反例
时间: 2023-06-12 21:07:28 浏览: 36
对于一个SISO系统,如果使用传递函数进行虚拟输出实现,可以得到如下的状态空间形式:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu \\
y = Cx + Du \\
v = Cy \\
\end{cases}
$$
其中,$v$是虚拟输出,$y$是实际输出。
根据能控性的定义,如果该系统是能控规范型的,那么它的控制矩阵$B$的秩应该等于状态矩阵$A$的秩。因此,我们需要证明$B$的秩等于$A$的秩。
我们可以将状态矩阵$A$进行可逆变换,变成如下的形式:
$$
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{bmatrix}
$$
其中,$A_{11}$是$n_1 \times n_1$的矩阵,$A_{22}$是$n_2 \times n_2$的矩阵,$n_1$和$n_2$分别是$A$的可控部分和不可控部分的维数。
因此,我们可以将状态向量$x$分成两个部分:
$$
x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
$$
其中,$x_1$是$A_{11}$的状态向量,$x_2$是$A_{22}$的状态向量。
根据虚拟输出的定义,我们有:
$$
v = Cy =
\begin{bmatrix}
C_1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
= C_1 x_1
$$
因此,我们可以将系统的状态空间形式简化为:
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = A_{11}x_1 + A_{12}u \\
v = C_1 x_1
\end{cases}
$$
现在考虑一个反例。假设我们有一个系统,其传递函数为:
$$
G(s) = \frac{1}{s^2 + 1}
$$
将其转换成状态空间形式,得到:
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -x_1 + u \\
v = x_1
\end{cases}
$$
其中,$x_1$和$x_2$分别是系统的位置和速度,$u$是输入,$v$是虚拟输出。
容易发现,该系统的状态矩阵$A$的特征值是$\pm i$,因此$A$的秩为$2$。然而,控制矩阵$B$的秩只有$1$,因此该系统不是能控规范型的。
因此,我们可以得出结论:一个SISO系统,使用其传递函数进行虚拟输出实现,不一定是能控规范型的。