python求解二次规划的对偶问题的代码

以下是使用cvxopt库求解二次规划对偶问题的Python代码：

import numpy as np
from cvxopt import matrix, solvers

# 定义二次规划问题的相关参数
P = matrix(np.array([[1.0, 0.5], [0.5, 2.0]]))
q = matrix(np.array([-5.0, -6.0]))
G = matrix(np.array([[-1.0, 0.0], [0.0, -1.0], [-1.0, -3.0], [2.0, 5.0]]))
h = matrix(np.array([0.0, 0.0, -15.0, 100.0]))

# 求解二次规划问题的对偶问题
sol = solvers.qp(P=P, q=q, G=G.T, h=h)
print(sol['x'])

需要注意的是，对偶问题中的矩阵$G$和向量$h$需要转置，即求解对偶问题时应该使用$G^T$和$h$。同时，这里使用了cvxopt库中的qp函数，它可以同时求解原问题和对偶问题，只需要将对应的矩阵和向量传入即可。

相关问题

python求解KKT及对偶问题的代码

KKT条件是最优化问题的必要条件，对偶问题是原问题的对偶形式，可以用于求解原问题的最优解。下面是用Python求解KKT条件及对偶问题的代码示例：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义原问题
def obj_func(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

def constraint1(x):
    return x[0] + x[1] - 1

def constraint2(x):
    return x[0] - x[1]

constraints = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1},
               {'type': 'eq', 'fun': constraint2}]

# 求解原问题的最优解
x0 = np.array([0, 0])
sol = minimize(obj_func, x0, method='SLSQP', constraints=constraints)
print("原问题最优解：", sol.x)

# 定义对偶问题
def lagrangian(x, alpha, beta):
    return obj_func(x) + alpha * constraint1(x) + beta * constraint2(x)

def dual_func(alpha, beta):
    x0 = np.array([0, 0])
    sol = minimize(lambda x: -lagrangian(x, alpha, beta), x0, method='SLSQP', constraints=constraints)
    return -sol.fun

# 求解对偶问题的最优解
bounds = [(0, None), (0, None)]
res = minimize(lambda x: -dual_func(x[0], x[1]), bounds=bounds, method='SLSQP')
print("对偶问题最优解：", res.x)

# 求解KKT条件
def kkt_conditions(x, alpha, beta):
    eps = 1e-6
    g1 = constraint1(x)
    g2 = constraint2(x)
    L_x = obj_func(x) + alpha * g1 + beta * g2
    kkt1 = abs(g1) <= eps
    kkt2 = abs(g2) <= eps
    kkt3 = alpha >= 0
    kkt4 = beta >= 0
    kkt5 = abs(alpha * g1) <= eps
    kkt6 = abs(beta * g2) <= eps
    kkt7 = abs(L_x - obj_func(x)) <= eps
    return kkt1, kkt2, kkt3, kkt4, kkt5, kkt6, kkt7

# 验证KKT条件
alpha, beta = res.x
print("KKT条件满足情况：", kkt_conditions(sol.x, alpha, beta))

其中，原问题是一个二次规划问题，包含两个约束条件。对偶问题也是一个二次规划问题，包含两个变量（拉格朗日乘子）。在求解对偶问题的最优解后，可以根据KKT条件验证原问题的最优解是否满足KKT条件。

二次规划问题的对偶问题用python如何表示

二次规划问题的对偶问题可以用 Python 中的 cvxpy 模块来表示和求解。假设原问题的形式为：

$$
\begin{aligned}
\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T P x + q^T x \\
\text{s.t.} \quad & Gx \leq h \\
& Ax = b
\end{aligned}
$$

则其对偶问题的形式为：

$$
\begin{aligned}
\max_{\lambda} \quad & -\frac{1}{2} \lambda^T G P^{-1} G^T \lambda - q^T P^{-1} G^T \lambda \\
\text{s.t.} \quad & A^T \lambda = 0 \\
& \lambda \geq 0
\end{aligned}
$$

其中，$x$ 为原问题的决策变量，$\lambda$ 为对偶问题的决策变量。

下面是一个使用 cvxpy 模块求解对偶问题的示例代码：

import numpy as np
import cvxpy as cp

# 定义原问题的数据
P = np.array([[1, 0], [0, 2]])
q = np.array([1, -2])
G = np.array([[-1, 0], [0, -1], [-1, -3], [2, 5]])
h = np.array([0, 0, -15, 100])
A = np.array([[1, 1]])
b = np.array([1])

# 定义对偶问题的变量和约束
n = G.shape[0]
m = A.shape[0]
lambd = cp.Variable(n)
constraints = [A.T @ lambd == 0, lambd >= 0]

# 定义对偶问题的目标函数
dual_objective = cp.Maximize(-0.5 * cp.quad_form(lambd, G @ np.linalg.inv(P) @ G.T) - q @ np.linalg.inv(P) @ G.T @ lambd)

# 求解对偶问题
dual_problem = cp.Problem(dual_objective, constraints)
dual_problem.solve()

# 输出对偶问题的解
print("Optimal value of the dual problem:", dual_problem.value)
print("Optimal solution of the dual problem:", lambd.value)